这道题算是我完完整整推的第一道题,写篇题解纪念一下. 题目 废话不多说,直接开始推式子(给新手准备,过程较详细,大佬可自行跳步),以下过程中均假设 \((n\le m)\),\([d=1]\) 类似于代码中的 (d==1) . \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k \] 直接按套路提取 \[\sum_{d=1}^{n}d^k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d] \] 等价于 \[\sum_{d=1}^{n}d^k\s…

[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P4449 给定n,m,k,计算 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \mathrm{gcd}(i,j)^k\) 对1000000007取模的结果 /* ----------------------- 基本套路: 1.枚举约数 2.枚举整除分块,观察倍数关系 3.发现g(T)是[积性函数],且g=μ*f.此时有很好的转移方法 if(i为质数) g[i]=f[i]-1 else{ if(i…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 给定n,m,k,计算 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \mathrm{gcd}(i,j)^k\) 对1000000007取模的结果 \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 多组数据. 第一行是两个数T,K; 之后的T行,每行两个整数n,m: \(\color{#0066ff}{输出格式}\) K行,每行一个结果 \(\color{#0066ff}{输入样例}\) 1 2 3 3 \(\color{#006…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4449 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{m} gcd(i,j)^k\) 首先加方括号,枚举g,提g:(\(min\)表示\(min(n,m)\)) \(\sum\limits_{g=1}^{min} g^k \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{i=1}^{m} [gcd(i,j)==g]\) \(\sum\limits_{…

题目大意 给定\(t,k(t\leq2000,k\leq5*10^6)\) \(t\)组询问,每组给出\(n,m(n,m\leq5*10^6)\)求$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \mathrm{gcd}(i,j)^k $ 题解 假设\(n\)较小 枚举gcd 原式=\(\sum_{a=1}^{n}a^k\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{a}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{a}\rfloor} [gcd(i,j…

4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 241  Solved: 119[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求 Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 23 3 Sample Outpu…

[BZOJ4407]于神之怒加强版(莫比乌斯反演) 题面 BZOJ 求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k\] 题解 根据惯用套路 把公约数提出来 \[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\] 再提一次 \[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]\] 后面这个东西很显然可以数论分块+莫比乌斯反演做到\(O(\…

4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1067  Solved: 494[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求     Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 2 3 3 Sample…

于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1184  Solved: 535[Submit][Status][Discuss] Description 给下N,M,K.求     Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 2 3 3 Sample Outpu…

[BZOJ4407]于神之怒加强版 Description 给下N,M,K.求 Input 输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示. Output 如题 Sample Input 1 2 3 3 Sample Output 20 HINT 1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000 题解:如何快速推出线性筛的递推式呢?——打表. 发现f(D)长得跟$\varp…