博主曾更过一篇复杂度为$O( k· \log k)$的多项式做法在这里 惊闻本题有$ O(k)$的神仙做法,说起神仙我就想起了于是就去学习了一波 幂与第二类斯特林数 推导看这里 $$ x^k=\sum_{j=0}^kj!\binom{x}{j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}$$ $$ \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}=\frac{1}{j!}\sum_{i=0}^ji^k\binom{j}{i}(-1)^{j-i}$$ 以上是两个…

[Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 245  Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.   Input 第一行包含两个正整数n,…

第二类斯特林数模版题 需要一些组合数的小$ trick$ upd:这里更新了本题巧妙的$ O(k)$做法,虽然常数很大就是了 传送门:here 题意:求所有$ n$个节点的无重边自环图的价值和,定义一张图的价值为每个点度数的$ k$次方和,点有标号 $ Solution$ 显然每个节点的贡献是独立的 枚举每个节点的度数,和这个点不联通的边可连可不连 $ ans=n*2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\ \ \sum\limits_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i$ 我…

定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 不要见到组合数就拆! 枚举每个点的度数,则答案为 \( n*\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}*2^{C_{n-1}^{2}}*i^{k} \) (又是那个公式:\( x^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{x}^{k}*(k!)*S(n,k) \)) \( = n*2^{C_{n-1}^{2}}\sum\limits_{i=0}…

题目链接 对于单独一个点,我们枚举它的度数(有多少条边)来计算它的贡献:\[\sum_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\] 每个点是一样的,所以\[Ans=n\cdot 2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 考虑如何计算\(\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\). 然后...dalao看到\(i^k\)就想起了第二类斯特林数: \(S(n,m…

Description "简单无向图"是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正整数n,k(1<=n<=10^9,1<=k<=200000). Output 输出一行一个整数,即答案对998244353取模的结果. Sample Input 6 5 Sample Outpu…

题意: 给定\(n\)个点,一个图的价值定义为所有点的度数的\(k\)次方之和. 现在计算所有\(n\)个点的简单无向图的价值之和. 思路: 将式子列出来: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}j^k \] 表示分别考虑每个点的贡献,我们只需要枚举其度数即可,其余的边任意连. 然后我们将后面的\(j^k\)用第二类斯特林数展开: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n…

题目 首先考虑到这是一张有标号的图,每一个点的地位是相等的,因此我们只需要求出一个点的价值和乘上\(n\)就好了 考虑一个点有多少种情况下度数为\(i\) 显然我们可以让除了这个点的剩下的\(n-1\)个点之间的边随便连,之后这个点从\(n-1\)个点里选择\(i\)个连边就好了,于是是\(\binom{n-1}{i}\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\)种情况这个点度数为\(i\) 我们现在要做的就是这个柿子了 \[n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}…

题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 \choose 2}}n \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose i} i^k\] 显然要求 \[\sum\limits_{i = 0}^{n} {n \choose i} i^k\] 然后我就不知道怎么做了.. 翻翻题解 有这样一个结论: \[n^k…

不难想到考虑每个点的贡献,ans=n*sigema(1~n)i C(n-1,i)*(2^C(n-1,2))*i^k 直接套第二类斯特林拆柿子即可.提示:sigema(1~n)i C(n,i)*C(i,j) = C(n,j)*2^(n-j) #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<c…

[Lydsy1711月赛]分割序列 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 213  Solved: 97[Submit][Status][Discuss] Description 对于一个长度为n的非负整数序列b_1,b_2,...,b_n,定义这个序列的能量为:f(b)=max{i=0,1,...,n}((b_1 xor b _2 xor...xor b_i)+(b_{i+1} xor b_{i+2} xor...xor b_n))其中x…

[Lydsy1711月赛]硬盘检测 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 273  Solved: 75[Submit][Status][Discuss] Description 很久很久以前,小Q买了一个大小为n单元的硬盘,并往里随机写入了n个32位无符号整数.因为时间过去太久,硬 盘上的容量字眼早已模糊不清,小Q也早已忘记了硬盘的容量.小Q记得,n可以被表示成10^k(1<=k<=7)的形式,即 十到一千万.他还记得自己曾经m次随机读…

5092: [Lydsy1711月赛]分割序列 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 219  Solved: 100[Submit][Status][Discuss] Description 对于一个长度为n的非负整数序列b_1,b_2,...,b_n,定义这个序列的能量为:f(b)=max{i=0,1,...,n}((b_1 xor b _2 xor...xor b_i)+(b_{i+1} xor b_{i+2} xor...xor b…

题目链接 \(Description\) \(Solution\) 首先处理\(a_i\)的前缀异或和\(s_i\).那么在对于序列\(a_1,...,a_n\),在\(i\)位置处分开的价值为:\(s_i+s_i\ ^{\wedge}s_n\). 虽然有个加,但依旧可以考虑按位计算.如果\(s_n\)的第\(k\)位为\(1\),那\(s_i\)的第\(k\)位为\(0\)或是\(1\)贡献都是\(2^k\)(贡献即\(s_i+s_i\ ^{\wedge}s_n\)在第\(k\)位上是否为\(…

题意 \(n​\) 个点的有向图,边权 \(\in \{1, 2, 3, 4\}​\) ,\(m​\) 次修改边权/加边/删边,\(q​\) 次询问:以 \(s_i​\) 为起点,输出它到其他点的最短路. \(n ≤ 5 \times 10^2 ,m \le 5 \times 10^4 , q \le 5 \times 10^3\) 题解 这图很密,如果修改就做一遍 \(Dijsktra\) 是 \(O((n + m) \log n)\) 的复杂度,显然是过不去的. 但是发现边权似乎不大,我们考…

Description 小Q的工作是采摘花园里的苹果.在花园中有n棵苹果树以及m条双向道路,苹果树编号依次为1到n,每条道路的两端连接着两棵不同的苹果树.假设第i棵苹果树连接着d_i条道路.小Q将会按照以下方式去采摘苹果: 1.小Q随机移动到一棵苹果树下,移动到第i棵苹果树下的概率为d_i/(2m),但不在此采摘. 2.等概率随机选择一条与当前苹果树相连的一条道路,移动到另一棵苹果树下. 3.假设当前位于第i棵苹果树下,则他会采摘a_i个苹果,多次经过同一棵苹果树下会重复采摘. 4.重复第2和3…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5092 套路地弄一个前缀异或和,就变成 f[ i ]=max_{j=0}^{i} { s[ j ] + (s[ i ]^s[ j ]) }.再套路地考虑按位贪心. 然后看了题解.按位贪心不是确定 f[ i ] 的这一位是0还是1,而是确定这一位是否给答案贡献 bin[ j ] ! 按位考虑,自己这一位如果是1,则 j 不管取在哪,都只有一种情况,就是向答案贡献 bin[ j ]: 自己这一位…

5093: [Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 250  Solved: 130[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正…

Description 题库链接 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的 \(k\) 次方的和.给定 \(n\) 和 \(k\) ,请计算所有 \(n\) 个点的带标号的简单无向图的价值之和.对 \(998244353\) 取模. \(1\leq n\leq 10^9,1\leq k\leq 200000\) Solution 单独考虑每个点连边情况,容易发现答案就是 \[n\cdot 2^{n-1\choose 2}\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}i^k\] 其中…

题面 Description 定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与 G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中. 现在给定 s 个结点数相同的图 G1...s, 设 S = {G1, G2, . . . , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异 或为一个连通图? Input 第一行为一个整数s, 表图的个数. 接下来每一个二进制串, 第 i 行的二进制串为 gi, 其中 gi 是原…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

CF题面 题意:求\(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i^k\) \(n\le10^9,k\le5000\) 模\(10^9+7\) BZOJ题面 题意:求\(n*2^{\frac{n(n-1))}{2}-(n-1)}*\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) \(n\le10^9,k\le2*10^5\) 模\(998244353\) 第二类斯特林数 赶紧去学第二类斯特林数啊 第二类斯特林数:\(S(n,m)\),表示把\(n\)个不同的的球放…

题目描述 “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. 题解 因为懒得敲公式了,所以就直接粘题解了. 我们发现在这张图中每个点都是等价的,所以我们就只需要考虑一个点的贡献,最后乘上n就可以了. . 当一个点的度数为i时,我们可以从其他n-1个点中任意挑出i个点和它连边,而其余n-1个点之间可以任意连边. 然后我们发现后面那一…

[CF932E]Team Work 题意:求$\sum\limits_{i=1}^nC_n^ii^k$,答案模$10^9+7$.$n\le 10^9,k\le 5000$. [BZOJ5093]图的价值 题意:“简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通).一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和.给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和.因为答案很大,请对998244353取模输出. $n\le 10^9,k\le 200000$ 题解:对于第二道题我们显然可…

5090: [Lydsy1711月赛]组题 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 785  Solved: 186[Submit][Status][Discuss] Description 著名出题人小Q的备忘录上共有n道可以出的题目,按照顺序依次编号为1到n,其中第i道题目的难度系数被小Q估计 为a_i,难度系数越高,题目越难,负数表示这道题目非常简单.小Q现在要出一套难题,他决定从备忘录中选取编 号连续的若干道题目,使得平均难度系数最高…

5091: [Lydsy1711月赛]摘苹果 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 214  Solved: 163[Submit][Status][Discuss] Description 小Q的工作是采摘花园里的苹果.在花园中有n棵苹果树以及m条双向道路,苹果树编号依次为1到n,每条道路的两 端连接着两棵不同的苹果树.假设第i棵苹果树连接着d_i条道路.小Q将会按照以下方式去采摘苹果: 1.小Q随机移动到一棵苹果树下,移动到第i棵苹果树…

[Lydsy1711月赛]摘苹果 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 174  Solved: 135[Submit][Status][Discuss] Description 小Q的工作是采摘花园里的苹果.在花园中有n棵苹果树以及m条双向道路,苹果树编号依次为1到n,每条道路的两 端连接着两棵不同的苹果树.假设第i棵苹果树连接着d_i条道路.小Q将会按照以下方式去采摘苹果:   1.小Q随机移动到一棵苹果树下,移动到第i棵苹果树下的概率…

BZOJ5091: [Lydsy1711月赛]摘苹果 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5091 分析: 点\(x\)第\(1\)次选中的概率是\(\frac{d_x}{2m}\) 第\(2\)次被选中的概率是\(\sum\limits_y \frac{d_y}{2m}\times \frac{1}{d_y}\)=\(\frac{d_x}{2m}\). = = 代码: #include <cstdio> #include <cstr…

Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.$n \le 10^9,k \le 200000$ 化学学考时含义推式子+手动打表找规律得到了一个$O(nlogn)$的式子开心的很我以为我要AC了回来看数据范围就升天了. 问NC大神这题用到了什么:斯特林数/伯努利数.然后就自闭了学了一天的知识点还去做了点…