P1891 疯狂LCM

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$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 众所周知,czmppppp是数学大神犇.一天,他给众蒟蒻们出了一道数论题,蒟蒻们都惊呆了... 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N). $\color{#0066ff}{输入格式}$ 第一行一个数T,表示有T组数据. 对于每组数据,一行,一个正整数N. $\color{#0066ff}{输出格式}$ T行,每行为对应答案. $\color{#0066ff}{输入样例}$ 3 1 2 5 \…

洛谷 - P1891 - 疯狂LCM - 线性筛

另一道数据范围不一样的题:https://www.cnblogs.com/Yinku/p/10987912.html $F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} lcm(i,n) $ $\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{in}{gcd(i,n)} $ 枚举g,提n. $n \sum\limits_{g|n}\frac{1}{g} \sum\limits_{i=1}^{n} i [gcd(i,n)==g] $ 前面带有id的时候,除以g要提g到前面. $n \su…

题解：洛谷P1891 疯狂LCM

原题链接题目描述描述: 众所周知,czmppppp是数学大神犇.一天,他给众蒟蒻们出了一道数论题,蒟蒻们都惊呆了... 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N). 输入输出格式输入格式: 第一行一个数T,表示有T组数据. 对于每组数据,一行,一个正整数N. 输出格式: T行,每行为对应答案. 输入输出样例输入样例#1: 复制 3 1 2 5 输出样例#1: 复制 1 4 55 说明对于30%的数据,1≤T≤5,1≤N≤100000 对于100%的数据…

洛谷 P1891 疯狂LCM 题解

原题链接享受推式子的乐趣吧数论真有趣! 庆祝:数论紫题第 $3$ 道. \[\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n) \] \[= \sum_{i=1}^n \frac{i \times n}{\gcd(i,n)} \] \[= n \times \sum_{i=1}^n \frac{i}{\gcd(i,n)} \] \[= n \times \sum_{d|n} \sum_{i=1}^n \frac{i}{d} [\gcd(i,n) == d] \] \…

luogu P1891 疯狂LCM

嘟嘟嘟这题跟上一道题有点像,但是我还是没推出来--菜啊 \[\begin{align*} ans &= \sum_{i = 1} ^ {n} \frac{i * n}{gcd(i, n)} \\ &= n * \sum_{d | n} \sum_{i = 1} ^ {n} [gcd(i, n) = d] * \frac{i}{d} \\ &= n * \sum_{d | n} \sum_{i = 1} ^ {\frac{n}{d}} [gcd(i, n) = 1] * i \\…

洛咕【P1891】疯狂LCM & 三倍经验

经验给掉先: 经验*1 经验*2 经验*3 这里给个跑得比较慢的 $n \sqrt n$ 预处理然后 $O(1)$ 回答询问的做法式子首先我们推柿子: \[\begin{aligned}ANS&= \sum_{i=1}^n lcm(i,n)\\ &=\sum_{i=1}^n {i* n\over (i,n)} \\&= n\sum_{i=1}^n {i\over (i,n)} \\&=n\sum_{d|n} \sum_{i=1}^{n/d} i [(i,n/d)…

luogu1891 疯狂lcm ??欧拉反演?

link 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N). 多组询问,1≤T≤300000,1≤N≤1000000 $\sum_{i=1}^nlcm(i,n)$ $=\sum_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}$ $=n\sum_{p|n}\frac 1 p\sum_{i=1}^ni[\gcd(i,n)=p]$ $=n\sum_{p|n}\sum_{i=1}^{n/p}i[\gcd(i,\frac n p)=1]$//注意这里是n…