洛谷P4389 付公主的背包--生成函数+多项式

题目链接戳这里题目描述有$n$件不同的商品,每件物品都有无限个,输出总体积为$[1,m]$的方案数思路直接跑背包有$30$ 考虑把每个物品的生成函数设出来,对于一件体积为$v$的物品: \[f(x)=1+x^v+x^{2v}+\cdots +x^{kv}+\cdots \] 那么答案$F(x)$就是每个物品的$f$卷起来: \[F(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}f_i(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x^…

洛谷P4389 付公主的背包 [生成函数，NTT]

传送门同样是回过头来发现不会做了,要加深一下记忆. 思路只要听说过生成函数的人相信第一眼都可以想到生成函数. 所以我们要求 \[ ans=\prod \sum_n x^{nV}=\prod \frac{1}{1-x^V} \] 也就是$\prod (1-x^V)$. 但这玩意好像还是不会做,怎么办呢? 按照套路,可以先$\ln$一下,加起来,再$\exp$回去. 所以现在要求 \[ \sum \ln(1-x^V) \] -- -- -- 不会. 不会怎么办? 打表找规律! 经过打…

洛谷 P4389 付公主的背包解题报告

P4389 付公主的背包题目背景付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述这个背包最多可以装$10^5$大小的东西付公主有$n$种商品,她要准备出摊了每种商品体积为$V_i$,都有$10^5$件给定$m$,对于$s\in [1,m]$,请你回答用这些商品恰好装$s$体积的方案数输入输出格式输入格式: 第一行$n,m$ 第二行$V_1\sim V_n$ 输出格式: $m$行,第$i$行代表$s=i$时方案数,对$998244353$取…

洛谷 P4389: 付公主的背包

题目传送门:洛谷 P4389. 题意简述: 有 $n$ 个物品,每个物品都有无限多,第 $i$ 个物品的体积为 $v_i$($v_i\le m$). 问用这些物品恰好装满容量为 $i$ 的背包的方案数,两个方案不同当且仅当存在某一个物品的选取数量不同. 你需要对 $i\in [1,m]$ 回答,答案对 $998,244,353$ 取模. 题解: 对于一个体积为 $v$ 的物品,它装满容量为 $x$ 的背包的方案数序列为 $a_x=[v|x]$. 例如 \(…

[洛谷P4389]付公主的背包

题目大意:有$n(n\leqslant10^5)$种物品,第$i$个物品体积为$v_i$,都有$10^5$件.给定$m(m\leqslant10^5)$,对于$s\in [1,m]$,请你回答用这些商品恰好装$s$体积的方案数题解:(by Weng_weijie) 背包问题模板(误) 对每个物品构造生成函数$F(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}x^{vi}=\dfrac{1}{1-x^v}$ 然后所有相乘就得到答案(不会乘) 对每个多项式求$\ln$加起来…

洛谷 4389 付公主的背包——多项式求ln、exp

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4389 关于泰勒展开: https://blog.csdn.net/SoHardToNamed/article/details/80550935 https://www.cnblogs.com/guo-xiang/p/6662881.html 大概就是:$ f(x) = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{ f^{(i)}(x_0) }{i!}(x-x_0)^i +R_n$ 麦克劳林展开就…

luogu P4389 付公主的背包

传送门神仙题鸭!orz dkw 暴力就是完全背包而完全背包可以和生成函数扯上关系,记第i种物品质量为$a_i$,那么这种物品的生成函数$G(i)=\sum_{j=0}^{\infty}x^{a_ij}$,最后体积为i的答案即为这n个生成函数的卷积的第i项系数然而用卷积复杂度为$O(mnlogm)$,还不如暴力.说道卷积,我就想起了可以把多项式先求$ln$,然后加起来,最后求$exp$.只不过每个函数求$ln$复杂度还是不行,我们打表发现\(lnG(i)=\sum_{…

P4389 付公主的背包

注意初始化的时候要这样写 for(int i=1,x;i<=n;i++){ scanf("%d",&x); v[x]++; } for(int i=1;i<=m;i++){ if(v[i]){ for(int j=1;j<=m/i;j++) a[i*j]=(a[i*j]+1LL*v[i]*invx[j]%MOD)%MOD; } } 这样写的复杂度是调和级数($O(n\log n)$) 不能这样写 for(int i=1;i<=n;i++){ sca…

[洛谷P4388] 付公主的矩形

18.09.09模拟赛T1. 一道数学题. 题目传送门首先把对角线当成是某个点的移动轨迹,从左下到右上. 那么这个点每上升一个单位长度,就穿过一个格子. 每右移一个单位长度,也会穿过一个格子. 例外:穿过格点,会减少穿过的格子数. 初步的结论:R*C的矩形,对角线穿过的格子数N=R+C-gcd(R,C). 那么我们只需算出这个方程的解的个数. 可以看出,R.C和gcd(R,C)都是gcd(R,C)的倍数. 那么N显然也是. 设N/gcd(R,C)=n,R/gcd(R,C)=r,C/gcd(R,…

洛谷 P2014 选课（树形背包）

洛谷 P2014 选课(树形背包) 思路题面:洛谷 P2014 如题这种有依赖性的任务可以用一棵树表示,因为一个儿子要访问到就必须先访问到父亲.然后,本来本题所有树是森林(没有共同祖先),但是题中的节点$0$其实就可以当做一个LCA,从节点$0$开始dp. 状态定义:$dp[x][m]$x节点,选则m课,获得的最大学分决策时,类比背包,遍历每一个状态,用儿子的状态更新 dp转移方程(已优化一维): \[ dp[x][i] = max{dp[x][i-j]+dp[son(x)][j…

LuoguP4389 付公主的背包【生成函数+多项式exp】

题目背景付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述这个背包最多可以装10^5105大小的东西付公主有n种商品,她要准备出摊了每种商品体积为Vi,都有10^5105件给定m,对于s\in [1,m]s∈[1,m],请你回答用这些商品恰好装s体积的方案数输入输出格式输入格式: 第一行n,m 第二行V1~Vn 输出格式: m行,第i行代表s=i时方案数,对998244353取模输入输出样例输入样例#1: 2 4 1 2 输出样例#1: 1 2 2 3 说明对于30%的数据,n<=300…

luogu4389 付公主的背包

题目链接:洛谷题目大意:现在有$n$个物品,每种物品体积为$v_i$,对任意$s\in [1,m]$,求背包恰好装$s$体积的方案数(完全背包问题). 数据范围:$n,m\leq 10^5$ 这道题,看到数据范围就知道是生成函数.$$Ans=\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-x^{v_i}}$$ 但是这个式子直接乘会tle,我们考虑进行优化. 看见这个连乘的式子,应该是要上$\ln$. $$Ans=\exp(\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})…

Solution -「洛谷 P4389」付公主的背包

$\mathcal{Description}$ Link. 容量为 $n$,$m$ 种物品的无限背包,求凑出每种容量的方案数,对 $998244353$ 取模. $n,m\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ 感觉货币系统是这道题的弱化版 qwq. 还有这个博客园对齐公式自动编号的 feature 怎么去掉啊-- 对于大小为 $v$ 的物品,有生成函数: \[G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}x^{iv}…

Luogu4389 付公主的背包（生成函数+多项式exp）

显然构造出生成函数,对体积v的物品,生成函数为1+xv+x2v+……=1/(1-xv).将所有生成函数乘起来得到的多项式即为答案,设为F(x),即F(x)=1/∏(1-xvi).但这个多项式的项数是Σvi级别的,无法直接分治FFT卷起来. 我们要降低多项式的次数,于是考虑取对数,化乘为加,得到lnF(x)=-Σln(1-xvi).只要对每个多项式求出ln加起来再exp回去即可. 考虑怎么对这个特殊形式的多项式求ln.对ln(1-xv)求导,得ln(1-xv)'=(1-xv)'/(1-xv)=-v…

[luogu4389]付公主的背包(多项式exp)

完全背包方案计数问题的FFT优化.首先写成生成函数的形式:对重量为V的背包,它的生成函数为$\sum\limits_{i=0}^{+\infty}x^{Vi}=\frac{1}{1-x^{V}}$于是答案就是$\prod \frac{1}{1-x^{V_k}}$.直接做显然会超时,考虑使用ln将乘法变为加法.https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10132855.html #include<cmath> #include<cstdio> #include&…

[luogu 4389] 付公主的背包

题意:求一个较大的多重背包对于每个i的方案数,答案对998244353取模. 思路: 生成函数: 对于一个$V$ 设: $f(x) = \sum_{i=0}^{oo} x ^ {V * i} = {1 \over {1 - x ^ V}}$ 那么就是求这个生成函数的积. 首先将$f(x)$取$ln$为$g(x)$,最后$exp$回去得到答案. \(g'(x) = {f'(x) \over f(x)} = (1 - x^V)\sum_{i = 1}^{oo}V * i *…

【LGP4389】付公主的背包

题目退役前抄一道生成函数快乐一下就是让我们做一个完全背包,但是朴素的做法显然是$O(nm)$的把每一个物品搞成一个多项式,显然这个多项式所有$v_i$的倍数箱为$1$,剩下的为$0$ 我们写成生成函数的话就是$\frac{1}{1-x^{v_i}}$ 也就是我们我们要求的答案就是 \[\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-x^{v_i}}\] 直接大力卷积是 $O(nmlogn)$的,好像还比暴力慢了一点发现连乘并不是很好处理,考虑取一个$\ln$…

[题解] LuoguP4389 付公主的背包

这个题太神辣- 暴力背包就能获得$30$分的好成绩...... $60$分不知道咋搞..... 所以直接看$100$分吧$QwQ$ 用一点生成函数的套路,对于一个体积为$v$的物品,我们构造一个序列$f_n = [v \mid n]\ (n \ge 0)$ 其生成函数\(F(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} [v \mid i]x^i = \sum\limits_{i=0}^{\infty} x^{vi} = \frac{1}{1-x^v}\…

洛谷P1782 旅行商的背包[多重背包]

题目描述小S坚信任何问题都可以在多项式时间内解决,于是他准备亲自去当一回旅行商.在出发之前,他购进了一些物品.这些物品共有n种,第i种体积为Vi,价值为Wi,共有Di件.他的背包体积是C.怎样装才能获得尽量多的收益呢?作为一名大神犇,他轻而易举的解决了这个问题. 然而,就在他出发前,他又收到了一批奇货.这些货共有m件,第i件的价值Yi与分配的体积Xi之间的关系为:Yi=ai*Xi^2+bi*Xi+ci.这是件好事,但小S却不知道怎么处理了,于是他找到了一位超级神犇(也就是你),请你帮他解决这个…

【洛谷】【动态规划/01背包】P2925 [USACO08DEC]干草出售Hay For Sale

[题目描述:] 约翰遭受了重大的损失:蟑螂吃掉了他所有的干草,留下一群饥饿的牛．他乘着容量为C(1≤C≤50000)个单位的马车,去顿因家买一些干草．顿因有H(1≤H≤5000)包干草,每一包都有它的体积Vi(l≤Vi≤C).约翰只能整包购买, 他最多可以运回多少体积的干草呢? [输入格式:] Line 1: Two space-separated integers: C and H Lines 2..H+1: Each line describes the volume of a singl…

【洛谷】【动态规划/01背包】P1734 最大约数和

[题目描述:] 选取和不超过S的若干个不同的正整数,使得所有数的约数(不含它本身)之和最大. [输入格式:] 输入一个正整数S. [输出格式:] 输出最大的约数之和. [算法分析:] 01背包,每个数的约数和为其价值,数的大小为其花费注意1的价值应该为0 [Code:] #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int n, v[1001], f[1001]; int work(int x) { if(x =…

【洛谷P1858】多人背包

题目大意:求解 0-1 背包前 K 优解的和. 题解:首先,可知对于状态 $dp[j]$ 来说,能够转移到该状态的只有 $dp[j],dp[j-w[i]]$.对于 K 优解来说,只需对状态额外增加一个维度即可.接着,考虑状态转移的过程,即:需要从 $dp[j][1...k]\rightarrow dp[j][1...k],dp[j-w[i]][1...k]\rightarrow dp[j][1...k]$,可以考虑每次取出两堆数中的最大值进行比较,取较大的给当前状态,时间复杂度较高.…

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