已知${a_n}$满足$a_1=1,a_{n+1}=(1+\frac{1}{n^2+n})a_n.$证明:当$n\in N^+$时, $(1)a_{n+1}>a_n.(2)\frac{2n}{n+1}\le a_n\le \frac{en}{n+1}$ 评:当然也可以按参考答案由数学归纳法证明.…

解答:C 评论:这里讲几个背景知识…

已知数列$\{a_n\}$满足:$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$1)证明:对任意$n\in N^+,a_n<5$2)证明:不存在$M\le4$,使得对任意$n,a_n<M$ 证明:1)显然$a_{n+1}>a_n,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}<a_n+\dfrac{a_na_{n+1}}{n(n+1)}$故$\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{1}{a_{n+1}}+\dfrac{…

已知$a,b>0$证明:$\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{1}{a+4b}+\dfrac{1}{a+6b}<\dfrac{3}{\sqrt{(a+b)(a+7b)}}$ 证明:\begin{align*} \dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{1}{a+4b}+\dfrac{1}{a+6b} & <\sqrt{3}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{a+2b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a+4b}\right)^2+\lef…

Problem D: 程序填充(递归函数):数列2项和 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 2601  Solved: 2117 Description 下面程序中"____ N ____"是根据程序功能需要填充部分,请完成程序填充(注意:不得加行.减行.加句.减句,否则后果自负). 该程序功能:数列的第1.2项均为1,此后各项值均为该项前二项之和.计算数列第30项的值. #include long f(int n); void…

Preface 个人感觉这中间的三题是最水的没有之一 数列分块入门 4--区间加法,区间求和 这个也是很多数据结构完爆的题目线段树入门题,但是练分块我们就要写吗 修改还是与之前类似,只不过我们要维护每一块内元素的和,注意这个要实时更新 这样就可以轻松水过了. CODE #include<cstdio> #include<cctype> #include<cmath> using namespace std; const int N=50005,BLO=250; int…

Preface 最后一题我一直觉得用莫队是最好的. 数列分块入门 7--区间乘法,区间加法,单点询问 还是很简单的吧,比起数列分块入门 7就多了个区间乘. 类似于线段树,由于乘法的优先级高于加法,因此我们先乘后加. 具体的,我们对于每一个块再额外维护一个乘法标记,每次乘法时同时更新乘法/加法标记. CODE #include<cstdio> #include<cctype> #include<cmath> #include<algorithm> using…

Preface 分块,一个神奇的暴力算法.可以把很多\(O(n^2)\)的数据结构题的暴力优化到常数极小的\(O(n\sqrt n)\).当一些毒瘤题无法用线段树,主席树,平衡树,树状数组......等\(O(n\ logn)\)方法写出时当然在你不会写这些算法的时候用大力分块骗分是再好不过的方法了! 当然分块的大致思想比较简单,我们看一下: /Here is Pic 1 但是由于分块在实际应用中有不同的方法,所以让我们来找各种各样的板子题来练练手吧. 数列分块入门 1--区间加法,单点查值 这…

(2018中科大自招最后一题)设$a_1=1,a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3(n+a_n)$证明:(1)$a_n=n^3\left(1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k^2}\right);(2)\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\dfrac{k}{a_k}\right)<3$ 证明:1)数学归纳法,略. $k=1$时候显然成立,$k\ge2$时有如下漂亮的连乘积放缩: \begin{align…

I. Interesting Integers 传送门 应该是叫思维题吧,反正敲一下脑壳才知道自己哪里写错了.要敢于暴力. 这个题的题意就是给你一个数,让你逆推出递推的最开始的两个数(假设一开始的两个数为x和y),而且要求x<=y. 通过找规律可以发现,这个题就是求解a*x+b*y=k这个方程的x和y的值,并且要x和y为最小满足条件的解.可以找规律出一个公式fi[i]*x+(fi[i-1]+fi[i])*y=n.因为不知道n具体是在第几步推出来的,所以for循环跑一遍预处理出来的斐波那契数列(存…