题目:https://loj.ac/problem/2304 看了各种题解…… \( dp[i][j] \) 表示有 i 列.第 j 行及以下默认合法,第 j+1 行至少有一个非法格子的概率,满足最大合法矩形面积 <= lm.其中第 j 行及以下的部分的贡献是 1 而不是 q 的几次方. 那么有 \( dp[i][j]=dp[i][j+1]*p^i + \sum\limits_{k=1}^{i}dp[k-1][j+1]*p^{k-1}*(1-p)*dp[i-k][j] \) 注意到当 i>k…

并不会递推,不过板子挺好背的,只要是类似的递推都能用,但是注意c数组不能使负数 如果除了递推还有常数项的话,就用f[i]-f[i-1]的方式消掉常数项(然后多一个f[i-1]的项) #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; const int N=4005,mod=1000000007; int n,m,a[N],ans…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4161 还是不能理解矩阵…… 关于不用矩阵理解的方法:https://blog.csdn.net/joker_69/article/details/80869814 关于这道题:https://blog.csdn.net/sdfzyhx/article/details/63697273 现在只会 O(k2logn) 的做法. 很多题解的写法是快速幂到多项式的 n-(k-1) 次,用递推式暴力…

给定数列前k项\(h_0...h_{k-1}\),其后的项满足:\(h_i=\sum_{i=1}^kh_{i-j}a_i\),其中\(a_1...a_k\)是给定的系数,求\(h_n\) 数据范围小的时候: ​ 做法一:暴力\(O(nk)\)的DP ​ 做法二:矩阵快速幂. 记\(H_i=\begin{bmatrix}h_i&h_{i+1}&...&h_{i+k-1}\end{bmatrix}\). 则\(h_n\)是\(H_{n-k+1}\)的最后一项. \(H_{n-k+1}=…

如果有相应的OJ题目,欢迎同学们提供相应的链接 相关链接 所有模板的快速链接 Matrix模板 poj_2118_Firepersons,my_ac_code 简单的测试 None 代码模板 /* * TIME COMPLEXITY:O(n^3log(t)) * PARAMS: * a The constant array. * b The initial array. * n The length of array. * t The iterator's value. * * MATRIX M…

常系数齐次线性递推 具体记在笔记本上了,以后可能补照片,这里稍微写一下,主要贴代码. 概述 形式: \[ h_n = a_1 h_{n-1}+a_2h_{n-2}+...+a_kh_{n-k} \] 矩阵乘法是\(O(k^3 \log n)\) 利用特征多项式可以做到\(O(k^2\log n)\) 特征多项式 特征值和特征向量 特征多项式 \[ f(\lambda) = \mid M - \lambda I\mid \] 是关于\(\lambda\)的\(n\)次多项式 根据\(Cayley-…

前言 嗯   我之前的不知道多少天看这个的时候到底在干什么呢 为什么那么..  可能大佬们太强的缘故 最后仔细想想思路那么的emmm 不说了  要落泪了 唔唔唔 前置 多项式求逆 多项式除法/取模 常系数齐次递推目的 求一个满足k阶齐次线性递推数列ai的第n项 即:  给出f1--fk,a0--ak-1求an N=1e9,K=32000 常系数齐次递推主要思路 emmm矩阵快速幂怎么样都应该会的 设转移矩阵为A,st=[a0,a1...ak-2,ak-1]为初始矩阵 显然an=(st*An)0…

[Luogu4723]线性递推(常系数齐次线性递推) 题面 洛谷 题解 板子题QwQ,注意多项式除法那里每个多项式的系数,调了一天. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define MAX 200000 #define MOD 998244353 inline int read() { int x=0;…

[BZOJ4161]Shlw loves matrixI (常系数齐次线性递推) 题面 BZOJ 题解 \(k\)很小,可以直接暴力多项式乘法和取模. 然后就是常系数齐次线性递推那套理论了,戳这里 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define MOD 1000000007 #define MAX 5000 void add(int &x,int…

这里所有的内容都将有关于一个线性递推: $f_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{k} a_{i} * f_{n - i}$,其中$f_{0}, f_{1}, ... , f_{k - 1}$是已知的. BM是用于求解线性递推式的工具,传入一个序列,会返回一个合法的线性递推式,一个$vector$,其中第$i$项表示上式的$a_{i + 1}$. CH用于快速求解常系数齐次线性递推的第$n$项,我们先会求出一个特征多项式$g$,$g$的第$k$项是$1$,其余项中第$k - i…

[BZOJ4944][NOI2017]泳池(线性常系数齐次递推,动态规划) 首先恰好为\(k\)很不好算,变为至少或者至多计算然后考虑容斥. 如果是至少的话,我们依然很难处理最大面积这个东西.所以考虑答案至多为\(k\)的概率,再减去至多为\(k-1\)的概率就是最终的答案. 发现要求的东西必须贴着底边,所以对于每一列而言我们需要考虑的就是选定区间的最低的那个不安全的格子的行号,再乘上底边的长度. 所以考虑设\(f[n]\)表示底边长度为\(n\)的答案,即确定底边长度为\(n\)时,面积小于等…

[背诵瞎讲] Cayley-Hamilton 常系数齐次线性递推式第n项的快速计算 (m=1e5,n=1e18) 看CSP看到一题"线性递推式",不会做,去问了问zsy怎么做,他并不想理我并丢给我以下方法: \[ \text{Cayley-Hamilton} \] 下文会根据CH定理证明的思路证明,没有形式上使用特征系统,因为我也不会... 一句话就是求: \[ f_n=\sum_{i=1}^m c_if_{n-i} \mod 998244353 \] 但这个算法卡常,zsy说1e5估…

定义 若数列 \(\{a_i\}\) 满足 \(a_n=\sum_{i=1}^kf_i \times a_{n-i}\) ,则该数列为 k 阶齐次线性递推数列 可以利用多项式的知识做到 \(O(k\log k \log n)\) 求第 n 项. 如果给出前 k 项,想知道 \(f_i\) ,可以在 \(O(k^2)\) 的时间内求出. 求 \(f_i\) 有 Berlekamp Massey 算法和 Reeds Sloane 算法,具体算法思想是啥咱也不知道,咱只知道这东西放进去就能跑. 前者需…

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/885/B 题意:已知齐次线性式xn=a*xn-1+b*xn-2,已知a,b,x0,x1,求xn,n很大,n<=1010^6. 思路:矩阵快速幂模板题,构造矩阵t: a b 矩阵ans: x1 x0 显然ans1=t×ans,ans1为: x2 x1 那么ansn=t^n*ans,ansn为: xn+ xn 所以用矩阵快速幂计算t^n,n很大,快速幂要用十进制倍增,对每一位的计算不能直接乘,还要用二进制的快速幂,不…

问了数竞的毛毛搞了一番也没太明白,好在代码蛮好写先记下吧. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ,mod=1e9+; int n,k,c[N],b[N],a[N],f[N],tmp[N],ans; inline void qmul(int *x,int *y) { ;i<k*;++i)tmp[i]=; ;i<k;++i) ;j<k;++j) tmp[i+j]=(tmp[i+j]+1ll*x[i]*y[j]%mod)%mod…

传送门 Sol 考虑要求的东西的组合意义,问题转化为: 有 \(n\) 种小球,每种的大小为 \(a_i\),求选出大小总和为 \(m\) 的小球排成一排的排列数 有递推 \(f_i=\sum_{j=1}^{n}f_{i-a_j}\) 常系数线性递推 求一个满足 \(k\) 阶齐次线性递推数列 \(f_i\) 的第 \(n\) 项 \[f_n=\sum\limits_{i=1}^{k}a_i \times f_{n-i}\] 给出 \(a_1...a_k\) 以及 \(f_0\) \(k\) 为…

P4723 [模板]常系数齐次线性递推 题目描述 求一个满足$k$阶齐次线性递推数列${a_i}$的第$n$项. 即:$a_n=\sum\limits_{i=1}^{k}f_i \times a_{n-i}$ 输入输出格式 输入格式: 第一行两个数$n$,$k$,如题面所述. 第二行$k$个数,表示$f_1 \ f_2 \ \cdots \ f_k$ 第三行$k$个数,表示$a_0 \ a_1 \ \cdots \ a_{k-1}$ 输出格式: 一个数,表示 $a_n \% 998244353$…

题目大意 一行有\(n\)个球,现在将这些球分成\(k\) 组,每组可以有一个球或相邻两个球.一个球只能在至多一个组中(可以不在任何组中).求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法. 答案对\(998244353\)取模. \(n\leq {10}^9,m<2^{19}\) 题解 因为\(k>n\)的项都是\(0\),所以我们钦定\(m\leq n\) 考虑DP. 记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数. \[ f_{i,j}=f…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Cayley-Hamilton.html Cayley-Hamilton定理与矩阵快速幂优化.常系数线性递推优化 引入 在开始本文之前,我们先用一个例题作为引入. 给定一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(M\) , 求 \(M ^ k\) . \(n\leq 50, k\leq 10 ^ {50000}\) . 注意到 \(n\) 十分小,但是 $ \log k$ 非常大.如果使用传统的矩阵快速幂,时间复杂度为 \…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604 递推式是百度的,主要是练习一下如何使用矩阵快速幂优化. 递推式:f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4),其中f(0)=2, f(1)=4, f(2)=6, f(3)=9. 当n>4时候,需要通过这个关系来递推. 构造矩阵这种东西我以前一直认为是很玄学的,但是如果深入研究的话不难发现其实也有规律可循.这是一个齐次递推式,很好构造. 我们希望通过如下矩阵(1)得到矩阵(2) | f(n…

题面 题解 线性常系数齐次递推sb板子题 $a_n=233a_{n-1}+666a_{n-2}$的特征方程为 $$ x^2=233x+666 \\ x^2-233x+666=0 \\ x_1=\frac{233+\sqrt{56953}}2,x_2=\frac{233-\sqrt{56953}}2 \\ \therefore a_n=\alpha x_1^n+\beta x_2^n \\ \because a_0=0,a_1=1 \\ \therefore \begin{cases} \alph…

题目大意:求一个满足$k$阶齐次线性递推数列$a_i$的第$n$项. 即:$a_n=\sum\limits_{i=1}^{k}f_i \times a_{n-i}$ 题解:线性齐次递推,先见洛谷题解,下回再补 卡点:数组大小计算错误,求逆中途计算时忘记加$mod$等 C++ Code:(这份全部是板子,可以用来测试,但是常数巨大) #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <…

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4565 So Easy! Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 5525    Accepted Submission(s): 1841 Problem Description A sequence Sn is defined as:Where a, b,…

题目大意 有一个\(1001\times n\)的的网格,每个格子有\(q\)的概率是安全的,\(1-q\)的概率是危险的. 定义一个矩形是合法的当且仅当: 这个矩形中每个格子都是安全的 必须紧贴网格的下边界 问你最大的合法子矩形大小为\(k\)的概率是多少. \(n\leq {10}^9,k\leq 1000\) 吉老师:这题本来是\(k\leq 20000\) 题解 一道好题. 我们计算最大子矩形不超过\(i\)的答案\(s_i\),那么答案就是\(s_k-s_{k-1}\). 显然最后一行…

  (一)Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法(不考虑高精度). 解法: 考虑1×2的矩阵[f[n-2],f[n-1]].根据fibonacci数列的递推关系,我们希望通过乘以一个2×2的矩阵,得到矩阵[f[n-1],f[n]]=[f[n-1],f[n-1]+f[n-2]] 很容易构造出这个2×2矩阵A,即: 0 1 1 1 所以,有[f[1],f[2]]×A＝[f[2],f[3]] 又因为矩阵乘法满足结合律,故有: [f[1],f…

已知\(f_i = \prod \limits_{j = 1}^k f_{i - j}^{b_j}\;mod\;998244353\),并且\(f_1, f_2, ..., f_{k - 1} = 1\),\(f_k = a\),已知\(f_n = m\),试求\(a\) 易知\(f_n = f_k^p\) 对于\(p\)满足递推式\(g[i] = \sum \limits_{j = 1}^k b[j] * g[i - j]\) 这是常系数线性递推,由于\(k \leq 100\),因此矩阵快速…

哎呀大水题..我写了一个多小时..好没救啊.. 数论板子X合一? 注意: 本文中变量名称区分大小写. 题意: 给一个\(n\)阶递推序列\(f_k=\prod^{n}_{i=1} f_{k-i}b_i\mod P\)其中\(P=998244353\), 输入\(b_1,b_2,...,b_n\)以及已知\(f_1,f_2,...,f_{n-1}=1\), 再给定一个数\(m\)和第\(m\)项的值\(f_m\), 求出一个合法的\(f_n\)值使得按照这个值递推出来的序列满足第\(m\)项的值为…

Berlekamp-Massey 算法用于求解常系数线性递推式 #include<bits/stdc++.h> typedef std::vector<int> VI; typedef long long ll; typedef std::pair<int, int> PII; const ll mod = 1000000007; ll powmod(ll a, ll b) { ll res = 1; a %= mod; assert(b >= 0); for(;…

2476: 战场的数目 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 58  Solved: 38[Submit][Status][Discuss] Description Input 输入文件最多包含25组测试数据,每个数据仅包含一行,有一个整数p(1<=p<=109),表示战场的图形周长.p=0表示输入结束,你的程序不应当处理这一行. Output 对于每组数据,输出仅一行,即满足条件的战场总数除以987654321的余数. Sample I…

一.递推: 所谓递推,简单理解就是推导数列的通项公式.先举一个简单的例子(另一个NOI练习题,但不是这次要解的问题): 楼梯有n(100 > n > 0)阶台阶,上楼时可以一步上1阶,也可以一步上2阶,也可以一步上3阶,编程计算共有多少种不同的走法. 这个问题可以用递归来进行解决,但是解题时间1秒明显不够用.怎么办呢,可以考虑找到“规律”,然后推导公式解决问题,开始画图分析: 这是4个台阶时的全部7种走法,记作f(4)=7.现在观察右侧绿色走过的部分,1234四种情况是3个台阶时的4种走,法记…