P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述 给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1…

Description 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; Input 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; Output 请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}; 请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}; Sample Input 1 Sample Output 1 1 思路 首先发现第一个一定是1.... 然后发现第二个其实可以表示成 \[ \sum_{i = 1}^…

题目 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; 输入格式 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; 输出格式 请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}; 请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}; 输入样例 1 输出样例 1 1 题解 首先很明显= = \[ans1 = 1\] 然后重点是\(ans2\) 我们会发现这样一个性质: \[\varphi(i^2) = i*\varphi(…

第一问是来搞笑的.由欧拉函数的计算公式容易发现φ(i2)=iφ(i).那么可以发现φ(n2)*id(n)(此处为卷积)=Σd*φ(d)*(n/d)=nΣφ(d)=n2 .这样就有了杜教筛所要求的容易算前缀和的两个函数.一通套路即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

题面 传送门 Sol 第一问puts("1") 第二问,\(\varphi(i^2)=i\varphi(i)\) 设\(\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}i\varphi(i)\)根据杜教筛推的式子 \[g(1)\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)(\frac{i}{d})\varphi(\frac{i}{d})-\sum_{i=2}^{n}g(d)\phi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\] 设\(g(i)=i\)减…

题意 求 $$\sum_{i = 1}^n \mu(i^2)$$ $$\sum_{i = 1}^n \phi(i^2)$$ $n \leqslant 10^9$ Sol zz的我看第一问看了10min. 感觉自己智商被侮辱了qwq 基础太垃圾qwq. 算了正经点吧,第一问答案肯定是$1$,还不明白的重学反演吧. 第二问其实也不难 定理: $\phi(i^2) = i\phi(i)$ $\sum_{d | n} \phi(d) = n$ 显然$i$ 考虑杜教筛的套路式子 $$g(1)s(n) =…

题目大意: 给定\(n\le 10^9\),求: 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) 解释 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 直接输出1 因为对于\(\forall i>1\)有\(\mu (i^2)=0\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) for 杜教筛: 构造函数\(f(i)=\varphi(i^2)\),则有\(f*\mathrm{id}=id^2\),具体推导…

[BZOJ4916]神犇和蒟蒻(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\ \ 和\ \sum_{i=1}^n\phi(i^2)\] 其中\[n<=10^9\] 题解 第一问 搞笑的 不会做? 算了.. 还是说一下: 想想\(\mu(x)\)是怎么算的??? 既然是\(i^2\),每个因数的个数一定不会是\(1\) 所以除了\(\mu(1)\)外一定都是\(0\) 所以第一问的答案一定是\(1\) 第二问: 先看看要求的是什么 \(\phi(i^2)=i*\ph…

[BZOJ4916]神犇和蒟蒻 Description 很久很久以前,有一群神犇叫sk和ypl和ssr和hjh和hgr和gjs和yay和xj和zwl和dcx和lyy和dtz和hy和xfz和myh和yww和zjt; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫ypl,被神犇myh的做题记录碾在地上; Input ​ 请你读入一个整\(N\); Output ​ 请你输出一个整数\(A=\sum_{i=1}^n\mu(i^2);(\bmod1000000007)\) ​ 请你输出一个整数\(B=\sum_{i=1}^…

题面 Description 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; Input 请你读入一个整数N;\(1<=N<=10^9\),A.B模\(10^9+7​\); Output 请你输出一个整数\(A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}\); 请你输出一个整数\(B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}\); Sample Input 1 Sample Output 1 1 题目分析 第一问: 根据定义,答案永远等于\(1\).…