[LOJ#6682]梦中的数论(min_25筛) 题面 LOJ 题解 注意题意是\(j|i\)并且\((j+k)|i\), 不难发现\(j\)和\((j+k)\)可以任意取\(i\)的任意因数,且\(j\lt j+k\),所以答案就是: \[Ans=\sum_{i=1}^n {\sigma(i)\choose 2}\] 所以要做的就是筛\(\sigma^2(i)\)和\(\sigma(i)\)的前缀和. \(\sigma(i)\)这个东西就是\(\displaystyle \sum_{i=1}^…

终于知道发明者的正确的名字了,是Min_25,这个筛法速度为亚线性的\(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log x})\),用于求解具有下面性质的积性函数的前缀和: 在 \(p\) 处是简单的低次多项式 在 \(p^c\) 处可以快速求值 貌似积性函数是指取一个积性函数 \(f(x)\) ,其在质数的位置上取值与所求函数相同.所以可以用来求n以内的质数的个数(取常函数 \(f(x)=1\) )以及质数的和(取恒等函数 \(f(x)=x\) ). 参考资料: loj#6235.…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html 题意 给定 $a,b$, 求 $$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i [{\rm lcm } (i,j) = n]$$ $$a,b\leq 10^{11}$$ $${\rm Time \ Limit } = 6s$$ 题解 本题做法很多. Min_25 筛 先差分一下,转化成求前缀和. 先把原题的统计无序数对转化成统计有序数对,最终 $an…

题目:https://loj.ac/problem/572 推式子:https://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/10150718.html 又学习了一下杜教筛hh: 原来 unsigned int 的输出是 %u 啊: 注意各处还是要用 (ll),不要不小心都写成 (uint) 了: 然而递归版很慢... #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cma…

传送门 题解 \(Min\_25\)筛有毒啊--肝了一个下午才看懂是个什么东西-- \(zsy\)巨巨强无敌-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for…

题目 不难发现我们要求的东西是\(\sum_{i=1}^n\binom{\sigma(i)}{2}=\sum_{i=1}^n\frac{\sigma(i)(\sigma(i)-1)}{2}=\frac{\sum_{i=1}^n\sigma^2(i)-\sum_{i=1}^n\sigma(i)}{2}\) 设\(f(i)=\sigma^2(i)\),不难发现这还是一个积性函数,显然的\(f(p^c)=(c+1)^2\),于是直接大力min_25即可,所以其实就是来复习一下板子 那个\(\sum_{…

题目链接 \(Description\) 给定\(n\),求\(1\sim n\)中的素数个数. \(2\leq n\leq10^{11}\). \(Solution\) Min_25筛.只需要求出\(g(n,|P|)\). 跑的好慢啊QAQ //5283ms 11.62M #include <cmath> #include <cstdio> #include <algorithm> typedef long long LL; const int N=317000<…

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中\(f(x)\)表示\(x\)的次大质因子. 题解 这个数据范围不是杜教筛就是\(min\_25\)筛了吧... 看到次大质因子显然要\(min\_25\)筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

题目:https://loj.ac/problem/6053 min_25筛:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html 这里把计算 s( n , j ) 需要的“质数部分的贡献”分成两部分算,令 \( g(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]i \) , \( h(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]1 \) ,其中 P…

min_25 筛介绍 我们考虑这样一个问题. \[ans=\sum_{i = 1}^nf(i)\\ \] 其中 \(1 \le n \le 10^{10}\) 其中 \(f(i)\) 是一个奇怪的函数.并不像 \(μ(i),φ(i),iφ(i)\)那样具有那么好的性质.但是满足以下条件: 若 \(p\)为质数,则 \(f(p)\)是一个关于 \(p\)的多项式,比如 \(μ(p)=−1,φ(p)=p−1\). 若 \(p\)为质数,\(e\)为正整数,则 \(f(pe)\)可以很快求出.(通常是…

题目链接 Min_25筛见这里: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10101811.html \(Description\) 给定\(n\),求积性函数\(f(p^c)=p\oplus c\)的前缀和.\(\oplus\)表示异或运算. \(n\leq 10^{10}…

题意 求 \([L, R]\) 之间的素数之和 . \(L≤10^{10},2×10^{10} \le R \le 10^{11}\) 题解 一个有点裸的 min_25筛 ? 现在我只会筛素数的前缀和 , 合数的过几天再学吧 . 首先推荐一波 yyb大佬博客 这个人很强 , 别那么fake就好啦 令 \(F(x) = x\) 显然此处 \(F(x)\) 是完全积性函数 . 我们需要求的就是 \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} [i \in Prime] F(i)\] .…

min_25筛 用来干啥? 考虑一个积性函数\(F(x)\),用来快速计算前缀和\[\sum_{i=1}^nF(i)\] 当然,这个积性函数要满足\(F(x),x\in Prime\)可以用多项式表示 同时,\(F(x^k),x\in Prime\)要能够快速计算答案 需要预处理的东西 先不考虑求前缀和的问题,考虑一个积性函数\(F(x)\) 求解\[\sum_{i=1}^n[i\in Prime]F(i)\] 直接求我也会懵逼的,还是找一个函数来算算,假设\(F(x)=x^k\) 那么,求解\…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

先定义几个符号: []:若方括号内为一个值,则向下取整,否则为布尔判断 集合P:素数集合. 题目分析: 题目是一个积性函数.做法之一是洲阁筛,也可以采用Min_25筛. 对于一个可以进行Min_25筛法的积性函数,它需要满足与洲阁筛相同的条件,即: 对于$f(p), p \in P$,它可以多项式表出.对于$f(p^k),p \in P$可以被快速计算出. 这道题中$f(p) = p-1$再对$2$进行修正即可. 对于1的情况我们单独考虑,现在我们对答案进行一些变换. $$\sum_{i=2}^…

题目链接 https://loj.ac/problem/3069 题解 复数真神奇. 一句话题意:令 \(f(x)\) 表示以原点 \((0, 0)\) 为圆心,半径为 \(x\) 的圆上的整点数量,求 \(\sum_\limits{i = 1}^N f(i)^k \bmod P\) 的值. 令 \(g(x) = \frac{f(x)}{4}\),那么我们需要求 \(\left(4^k\sum_\limits{i = 1}^Ng(i)^k\right) \bmod P\).打表可得 \(g(x)…

题目链接:LOJ 题目大意:看到题目名字应该都知道是啥了吧. $1\le N\le 10^{11}$. 阉割版 min_25 筛.发现答案实际上就是 min_25 筛中 $g(N,pl)$ 的值.(取次数 $k=0$ 即可) 在这里再写一遍式子.(用久了应该要背了) $g(n,0)=n-1$ $g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&p_j^2>n\\g(n,j-1)-(g(\lfloor\dfrac{n}{p_j}\rfloor,j)-(j-1))&p_j^2\l…

本人在LOJ的第三题(前两题太水不好意思说了QwQ),欢迎大家踩std. 题目链接:LOJ 题目大意:定义函数 $f$:($minp$ 表示最小质因子) $$f(x)=\begin{cases}0&x=1\\x-2&x\in prime\\minp(x)-1&otherwise\end{cases}$$ 求 $f$ 前 $n$ 项的和对 $20190601$ 取模的值. $1\le n\le 10^{11}$. 考虑 min_25 筛中的 $g_0(n,j)$($0$ 次方,即满足…

目录 1.什么是min_25筛 2.前置知识 2.1.数论函数 2.2.埃拉托色尼筛 2.3.欧拉筛 3.min_25筛 3.1.计算质数贡献 3.2.计算总贡献 3.3.实现 4.例题 4.1.[LOJ]区间素数个数 4.2.[LG P4213]杜教筛 1.什么是min_25筛          min_25 筛和洲阁筛.杜教筛一样,是一种低于线性的用于求积性函数前缀和的筛法.常用 min_25 筛的时间复杂度为\(O(\frac{n^{\frac34}}{\log n})\),而经过优化可以…

传送门 省选之前做数论题会不会有Debuff啊 这道题显然是要求\(1\)到\(x\)中所有数第二大质因子的大小之和,如果不存在第二大质因子就是\(0\) 线性筛似乎可以做,但是\(10^{11}\)的数据范围让人望而却步,而杜教筛需要对\(f(x)\)找到一个函数\(g(x)\)做狄利克雷卷积成为一个好算前缀和的函数\(h(x)\),相信各位是找不到这样一个函数的.所以考虑Min_25筛.但用Min_25筛还不知道要筛什么东西,故从Min_25筛最后的计算过程入手. Min_25筛的每一层递归…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

题目描述 给你\(n\),求 \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} \] 对\({10}^{12}+39\)取模. \(\sigma_0(i)\)表示约数个数. 题解 把式子拆成两部分: \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}=\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i}\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{\mu(i)} \] 先看前面这部分 \[ \begin{align}…

min_25 筛是由 min_25 大佬使用后普遍推广的一种新型算法,这个算法能在 \(O({n^{3\over 4}\over log~ n})\) 的复杂度内解决所有的积性函数前缀和求解问题(个人感觉套上素数定理证明的复杂度的话应该要把下面的 log 改成 ln ,不过也差不多啦~) 其实 min_25 筛的入门TXC 大佬的 blog 已经写的非常棒了QVQ 所以搬博客的话鉴于博主太懒了就不干了...直接帮 TXC 大佬安利博客完事 这篇博客主要的目的是证明网上大多没有的 min_25 筛…

Min_25 筛这个东西,完全理解花了我很长的时间,所以写点东西来记录一些自己的理解. 它能做什么 对于某个数论函数 \(f\),如果满足以下几个条件,那么它就可以用 Min_25 筛来快速求出这个函数的前缀和. 它是一个积性函数 对于一个质数 \(p\) ,\(f(p)\) 的表达式必须是一个项数比较小的多项式.即 \(\displaystyle f(p) = \sum a_ip^{b_i}\). 对于一个质数 \(p\) ,\(f(p^k)\) 的表达式必须可以由 \(f(p)\) 快速得到…

Min_25 筛 yyb好神仙啊 干什么用的 可以在\(O(\frac{n^{\frac 34}}{\log n})\)的时间内求积性函数\(f(x)\)的前缀和. 别问我为什么是这个复杂度 要求\(f(p)\)是一个关于\(p\)的简单多项式,\(f(p^c)\)可以快速计算. 怎么做啊 首先我们需要对每个\(x=\lfloor\frac ni\rfloor\)求出\(\sum_{i=1}^x[i是质数]f(i)\). 怎么求呢? 先线性筛出\(\sqrt n\)范围内的质数,设\(P_j\)…

关于min_25筛的一些理解 如果想看如何筛个普通积性函数啥的,就别往下看了,下面没有的(QwQ). 下文中,所有的\(p\)都代表质数,\(P\)代表质数集合. 注意下文中定义的最小/最大质因子都是默认所有质因子本质不同. 即\(2*2*3*4*5*5\)的最小/次小质因子都是\(2\),最大/次大质因子都是\(5\). step1. 适用条件与思想 min_25筛用于求积性函数前缀和,即\(\sum_{i=1}^n f(i)\) . min_25筛相比于传统筛法来说(如莫比乌斯反演.杜教筛)…

题目链接 http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 题解 需要求的式子显然是个二合一形式,我们将其拆开,分别计算 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\) 与 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}\),再将两部分乘起来得到答案. 对于第一部分 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\):…

[UOJ#188]Sanrd(min_25筛) 题面 UOJ 题解 今天菊开讲的题目.(千古神犇陈菊开,扑通扑通跪下来) 题目要求的就是所有数的次大质因子的和. 这个部分和\(min\_25\)筛中枚举最小值因子有异曲同工之妙. min_25筛什么的戳这里 并且这题并没有积性函数. 所以我们先筛出质数个数. 然后考虑如何计算答案\(S(n,1)\) 首先看初值,假设当前计算的是\(S(x,y)\) 表示的是\([1,x]\)中,所有最小质因子大于等于\(Prime_y\)的贡献 所有质数的贡献显…

题目链接:LOJ 题目大意:从前有个积性函数 $f$ 满足 $f(1)=1,f(p^k)=p\oplus k$.(异或)求其前 $n$ 项的和对 $10^9+7$ 取模的值. $1\le n\le 10^{10}$. 这种奇怪但是简洁的积性函数求和,首选 min_25 筛. 首先可以发现,对于质数 $p$,$p\ge 3$ 时 $f(p)=p-1$,$p=2$ 时 $f(p)=p+1$. 所以可以先把 $f(2)$ 看做 $1$,这样方便处理 $g$,最后计算 $S$ 时再加个 $2$ 就好了.…

P5325 [模板]Min_25筛 题目背景 模板题,无背景. 题目描述 定义积性函数$f(x)$,且$f(p^k)=p^k(p^k-1)$($p$是一个质数),求 $$\sum_{i=1}^n f(x)$$ 对$10^9+7$取模. 输入输出格式 输入格式: 一行一个整数$n$. 输出格式: 一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 10 输出样例#1: 复制 263 输入样例#2: 复制 1000000000 输出样例#2: 复制 710164413 说明 $f(1)=1,f(…