\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图,判断是否有给每条边定向的方案,使得 \(q\) 组有序点对 \((s,t)\) 都有 \(s\) 可达 \(t\).   \(n,m,q\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   首先,对于原图中的边双,显然是可以让它们互相可达的,考虑把边双缩点.   此后,图变成了一片森林.单独考虑一棵树,从 \(s\) 到 \(t\) 的有向路径…

「CF555E」 Case of Computer Network 传送门 又是给边定向的题目(马上想到欧拉回路) 然而这个题没有对度数的限制,你想歪了. 然后又开始想一个类似于匈牙利的算法:我先跑,如果遇到要占用这条边的,我就把原来的去掉这条边试试能不能走其他路,然后这样做一遍. 这可能能够解决 \(n\) 比较小的时候的问题? 然而这题 \(n,m\le 2\times 10^5\). 然后又想先整出他的 \(\texttt{DFS}\) 树,然后再暴力改发现完全方向错了. 事实上一个边双连…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   在一个 \(n\times n\) 的国际象棋棋盘上摆 \(n\) 个车,求满足: 所有格子都可以被攻击到. 恰好存在 \(k\) 对车可以互相攻击.   的摆放方案数,对 \(998244353\) 取模.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   这道<蓝题>嗷,看来兔是个傻子.   从第一个条件入手,所有格子可被攻击,那就有「每行都有车」或「每列都有车」成立.不妨…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵包含 \(n\) 个点的有标号树,求与这棵树重合恰好 \(0,1,\cdots,n-1\) 条边的树的个数,对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le100\). \(\mathcal{Solution}\) \(\mathcal{Case~1}\)   考虑把"是否是原树上的边"看做一种权值,相当于求完全图的生成树.具体地,令完全图中,原树有的边的权值为 \(1\),否则为 \(x\),用多项式暴…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   对于 \(x\in\mathbb N^*\),令 \(s(x)\) 表示将 \(x\) 十进制下的各位数码排序后得到的十进制数的值.求 \(\sum_{i=1}^X s(i)\) 对 \((10^9+7)\) 取模的结果.   \(X\le10^{700}\). \(\mathcal{Solution}\)   下记 \(m=10\)(进制),\(n=\lceil\log_mX\rceil\). \(\mathcal{Cas…

\(\mathscr{Description}\)   Link.   求 \(S\subseteq\{1,2,\dots,n\}\),使得 \(\prod_{i\in S}i\) 是完全平方数,并最大化 \(|S|\).   \(n\le10^6\). \(\mathscr{Solution}\)   爆搜打出 \(20\) 以内的表,发现 \(|S|\approx n\).先研究偶数 \(n=2k\): \[\begin{aligned} \prod_{i=1}^{2k} i! &= \le…

\(\mathscr{Description}\)   Link.   给定两棵含 \(n\) 个结点的树 \(T_1=(V_1,E_1),T_2=(V_2,E_2)\),求一个双射 \(\varphi:V_1\rightarrow V_2\),使得 \(\forall (u,v)\in V_1^2,~(u,v)\notin E_1\lor (\varphi(u),\varphi(v))\notin E_2\),或声明无解.   \(n\le10^4\). \(\mathscr{Solution…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有一个整数 \(x\in[0,n]\),初始时以 \(p_i\) 的概率取值 \(i\).进行 \(m\) 轮变换,每次均匀随机取整数 \(r\in[0,x]\),令 \(x\leftarrow r\).求变换完成后 \(x=i~(i=0..n)\) 的概率.答案模 \(998244353\). \(\mathcal{Solution}\)   令向量 \(\boldsymbol p\) 为此时 \(x\) 的取值概率,显然…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   定义有向图 \(G=(V,E)\),\(|V|=n\),\(\lang u,v\rang \in E \Leftrightarrow u<v\).求一个对 \(E\) 的染色 \(f\),使得 \(\not\exist \lang v_1,v_2,\cdots,v_{k+1} \rang, |\{f(v_i,v_{i+1})\mid i\in[1,k]\}|=1\),同时最小化 \(f\) 的值域大小.   \(2\le k…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   定义棵点权为 \(1\sim n\) 的二叉搜索树 \(T\) 是 好树,当且仅当: 除去最深的所有叶子后,\(T\) 是满的: 对于 \(T\) 中任意结点 \(r\),若 \(r\) 存在左儿子 \(u\),则 \(r\not\equiv u\pmod2\): 若 \(r\) 存在右儿子 \(v\),则 \(r\equiv v\pmod2\):   给定 \(n\),求 好树 数量.答案对 \(998244353\) 取…