2339: [HNOI2011]卡农 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 842  Solved: 510[Submit][Status][Discuss] Description 可以把集合视作有序的,当做排列做,最后再 /m!设f[i]表示选出i个集合的合法方案 选出了(i-1)个集合后,最后一个集合是唯一确定的 总数就是A(2^n - 1,i-1)但是最后确定的集合可能使方案不合法,有两种情况1.最后确定的集合为空,这种情况的方案…

题目描述 题解 dp+容斥原理 先考虑有序数列的个数,然后除以$m!$即为集合的个数. 设$f[i]$表示选出$i$个集合作为满足条件的有序数列的方案数. 直接求$f[i]$较为困难,考虑容斥,满足条件的有序数列的方案数=总方案数-不满足条件的方案数. 考虑如果前$i-1$个集合确定,那么第$i$个集合也一定确定,总方案数为$2^n-1$个满足条件的集合(不包括空集)中取出$i-1$个的排列$A_{2^n-1}^{i-1}$. 不满足条件的方案有两种: 1.根据前$i-1$个集合确定的第$i$个…

[BZOJ2339][HNOI2011]卡农 试题描述 输入 见"试题描述" 输出 见"试题描述" 输入示例 见"试题描述" 输出示例 见"试题描述" 数据规模及约定 见"试题描述" 题解 先考虑 m 个 01 串排顺序的情况.可以发现如果定下前 m - 1 个 01 串,那么第 m 个串就可以由前面所有 01 串按位异或得出,所以方案数为 A(2n - 1, m - 1)(即除全 0 串外的所有情况选择…

题目链接: [HNOI2011]卡农 题目要求从$S=\{1,2,3……n\}$中选出$m$个子集满足以下三个条件: 1.不能选空集 2.不能选相同的两个子集 3.每种元素出现次数必须为偶数次 我们考虑递推,设$f[i]$为选$i$个集合满足以上条件的方案数. 考虑容斥: 当确定了前$i-1$个集合后,要满足第三个条件的话,第$i$个集合是唯一确定的,所以总方案数为$A_{2^n-1}^{i-1}$. 去掉第$i$个集合是空集的情况,如果第$i$个集合是空集,那么前$i-1$个集合一定合法,即方…

考虑有序选择各子集,最后除以m!即可.设f[i]为选i个子集的合法方案数. 对f[i]考虑容斥,先只满足所有元素出现次数为偶数.确定前i-1个子集后第i个子集是确定的,那么方案数为A(2n-1,i-1). 显然不能为空集,于是去掉前i-1个已经满足限制的方案,也即f[i-1]. 然后去掉第i个子集和之前重复的情况.显然如果有重复,将这两个去掉后仍然是合法的.那么方案数为f[i-2]*(i-1)*(2n-1-(i-2)). #include<iostream> #include<cstdi…

[BZOJ2339][HNOI2011]卡农 题解:虽然集合具有无序性,但是为了方便,我们先考虑有序的情况,最后将答案除以m!即可. 考虑DP.如果我们已经知道了前m-1个集合,那么第m个集合已经是确定的了.因为内层集合的n个元素可以随便出现,那么总数就是A(2^n-1,m-1).但是可能存在不合法的情况. 1.在前m-1个集合中,n个数出现的次数已经都是偶数了,那么第m个集合为空,不合法,此时方案数为f[m-1].2.第m个集合与之前某个集合相同,那么我们不考虑这两个集合,剩下的方案数为f[i…

题目 P3214 [HNOI2011]卡农 在被一题容斥\(dp\)完虐之后,打算做一做集合容斥这类的题了 第一次深感HNOI的毒瘤(题做得太少了!!) 做法 求\([1,n]\)组成的集合中选\(m\)个不同集合且每个元素出现偶数的组合方案 无序(打乱顺序仍记为一种)通常我们对于有序的做法更简单,怎么转换呢 C组合数的公式是怎么得来的?别说你是背来的\(emmm\)(那也没有做这题的必要了) 有序\(m!\)就得到了无序的 我们考虑\(dp\),数组\(dp_i\)表示选i个不同集合的排列方案…

[BZOJ2339]卡农(递推,容斥) 题面 BZOJ 题解 先简化一下题意: 在\([1,2^n-1]\)中选择不重复的\(m\)个数,使得他们异或和为\(0\)的方案数. 我们设\(f[i]\)表示选择\(i\)个数异或和为\(0\)的方案数. 直接算是很麻烦的,所以我们反过来,总数减去不合法的. 因为确定了前\(i-1\)个数最后一个数就已经知道了. 所以总方案数是\(A_{2^n-1}^{i-1}\),不合法的有两种,一种是选择了\(0\),一种是有重复. 选择了\(0\),意味着前\(…

题面 原题面 众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法,小余在听卡农音乐时灵感大发,发明了一种新的音乐谱写规则. 他将声音分成 n n n 个音阶,并将音乐分成若干个片段.音乐的每个片段都是由 1 1 1 到 n n n 个音阶构成的和声,即从 n n n 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来. 为了强调与卡农的不同,他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同.同时为了保持音乐的规律性,他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数.(注:"一段音乐"指整个曲子) 现在的问题是:小余想知道包含…

题目描述 众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法,小余在听卡农音乐时灵感大发,发明了一种新的音乐谱写规则.他将声音分成 n 个音阶,并将音乐分成若干个片段.音乐的每个片段都是由 1 到 n 个音阶构成的和声,即从 n 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来.为了强调与卡农的不同,他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同.同时为了保持音乐的规律性,他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数.现在的问题是:小余想知道包含 m 个片段的音乐一共有多少种.两段音乐 a 和 b 同种当且仅当将 a 的片段重…

题目描述 众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法,小余在听卡农音乐时灵感大发,发明了一种新的音乐谱写规则.他将声音分成 n 个音阶,并将音乐分成若干个片段.音乐的每个片段都是由 1 到 n 个音阶构成的和声,即从 n 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来.为了强调与卡农的不同,他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同.同时为了保持音乐的规律性,他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数.现在的问题是:小余想知道包含 m 个片段的音乐一共有多少种.两段音乐 a 和 b 同种当且仅当将 a 的片段重…

传送门 火题qwq 我们需要求的是满足元素个数为\(M\).元素取值范围为\([1,2^n-1]\).元素异或和为\(0\)的集合的数量. 首先我们可以计算元素有序的方案数(即计算满足这些条件的序列的数量),然后除以\(M!\). 设\(dp_i\)表示大小为\(i\)的满足条件的序列个数 由"元素异或和为\(0\)"可以知道,如果确定了其中\(i-1\)个向量,第\(i\)个向量就可以知道了,选择\(i-1\)个向量的方案数是\(A_{2^n-1}^{i-1}\) 然后考虑非法情况:…

洛谷题面传送门 又是一道我不会的代码超短的题( 一开始想着用生成函数搞,结果怎么都搞不粗来/ll 首先不妨假设音阶之间存在顺序关系,最终答案除以 \(m!\) 即可. 本题个人认为一个比较亮的地方在于,每个音阶被奏响次数都是偶数这个条件的处理方式.由于是奇偶性,我们可以发现如果我们钦定了其中 \(m-1\) 个片段对应的音阶集合,那么第 \(m\) 个片段中的音阶集合一定已经确定了.我们考虑从这个性质入手.设 \(dp_i\) 表示有多少个包含 \(i\) 个片段且符合要求的音阶集合,那么我们考…

题目链接 \(Description\) 有\(n\)个数,用其中的某些数构成集合,求构造出\(m\)个互不相同且非空的集合(\(m\)个集合无序),并满足每个数总共出现的次数为偶数的方案数. \(Solution\) 为简化问题,将无序转为有序,只需在最后除以\(m!\)即可. 设\(f[i]\)表示构造前\(i\)个集合并满足条件的方案数. 每个数出现次数为偶数,所以如果前\(i-1\)个集合确定,第\(i\)个集合也可以确定.这样对于\(i\)有\(A_{2^n-1}^{i-1}\)种方案…

Description Solution 比较难想.... 我们先考虑去掉无序的这个条件,改为有序,最后除 \(m!\) 即可 设 \(f[i]\) 表示前\(i\)个合法集合的方案数 明确一点: 如果前\(i-1\)个集合已经确定,并且前\(i\)个是合法的,那么第\(i\)就是确定的,所以是一一对应的关系,如果不考虑重复和空集的情况,那么总方案数就是 \(A_{2^{n}-1}^{i-1}\) 考虑去掉不合法的: 1.当前集合为空集,方案数为 \(f[i-1]\) 2.有两个集合相同,那么去…

Description 首先去除顺序不同算一种的麻烦,就是最后答案除以总片段数\(2^m-1\) 设\(f_i\)表示安排\(i\)个片段的合法种类 那么对于任何一个包含\(i-1\)个片段的序列(除了发\(f_{i-1}\)的那几个合法序列)都能再找到唯一一个片段使得整个序列变为合法序列(那种和旋是基数个就选上).但是还有一种特例就是可能这个新选的片段已经在序列里了,这种情况下把这两个相同的片段去掉肯定还是合法序列啊,就是\(f_{i-2}\) 所以总柿子就是\[f_i= A_{2^m-1}^…

题意:从编号为 1~N 的音阶中可选任意个数组成一个音乐片段,再集合组成音乐篇章.要求一个音乐篇章中的片段不可重复,都不为空,且出现的音符的次数都是偶数个.问组成 M 个片段的音乐篇章有多少种.答案取模1000000007(质数). 解法:先将题目模型化:N 个数组成 M 种组合,且要求组合之间互不相等,把各组合用二进制表示对 N 个数的取舍状态之后的异或和为0.   虽然求得是组合,但我们转化为排列来做计算时更方便.假设 f[i] 表示从 n 个数中选 i 种排列的方案数.那么就是"总的排列数…

题目链接:卡农 听说这道题是经典题? 首先明确一下题意(我在这里纠结了好久):有\(n\)个数,要求你选出\(m\)个不同的子集,使得每个数都出现了偶数次.无先后顺序. 这道题就是一道数学题.显然我们可以强制有先后顺序,只需要在最后除掉一个\(m!\)即可.令\(f_i\)表示选出\(i\)个子集的方案数,我们来考虑一下怎么算. 由于总的方案数很好计算,选出\(i\)个子集的方案就是\(A^{i-1}_{2^n-1}\),因为一旦选出了前\(i-1\)个,第\(i\)个就已经确定了. 我们这样选…

题目描述 求一张有向图的强连通生成子图的数目对 $10^9+7$ 取模的结果. 题解 状压dp+容斥原理 设 $f[i]$ 表示点集 $i$ 强连通生成子图的数目,容易想到使用总方案数 $2^{sum[i]}$ 减去不为强连通图的方案数得到强连通图的方案数,其中 $sum[i]$ 表示点集 $i$ 中边的数目. 考虑什么样的图不是强连通图:缩点后入度为0的强连通分量对应的点集不是全集. 枚举这些入度为0的强连通分量对应的点集,由于无法保证只有这些点构成的入度为0的强连通分量,因此需要进一步容斥.…

题目描述 有 $n$ 个点,点 $i$ 和点 $j$ 之间可以连 $0\sim c_{i,j}$ 条无向边.求连成一张无向连通图的方案数模 $10^9+7$ .两个方案不同,当且仅当:存在点对 $(i,j$ ,使得 $i$ 与 $j$ 之间的边数不同. 输入 标准输入.输入第一行包含一个正整数n,表示珠子的个数.接下来n行,每行包含n个非负整数,用空格隔开.这n行中,第i行第j个数为ci,j. 输出 标准输出.输出一行一个整数,为连接方案数对1000000007取模的结果. 样例输入 3 0 2…

P2986 [USACO10MAR]伟大的奶牛聚集Great Cow Gat… 题目描述 Bessie is planning the annual Great Cow Gathering for cows all across the country and, of course, she would like to choose the most convenient location for the gathering to take place. Each cow lives in on…

[BZOJ 4455] [ZJOI 2016] 小星星 (树形dp+容斥原理+状态压缩) 题面 给出一棵树和一个图,点数均为n,问有多少种方法把树的节点标号,使得对于树上的任意两个节点u,v,若树上u,v之间有一条边,图上u,v对应的点之间也有一条边. \(n \leq 17\) 分析 看到\(n \leq 17\),我们应该想到状态压缩.但直接用子集dp的时间复杂度为\(O(3^nn^3)\),会TLE.所以我们压缩的状态可能有问题,考虑优化. 显然题目给了两个限制: 原树中的每条边都要在图中…

问题描述 BZOJ2339 本题的一些心得 对于这种无序集合计数类问题,可以通过对方案数除以某个数的阶乘,使得无序化变为有序化. 设计DP方程时候,应该先有序的列出状态转移方程每一项的来源,并一项项推导式子,可以使得做题过程更加有条理. 一个拥有良好科学素养的人,一定是有条理的 --李理 题解 对于本题,发现如果最后对答案除以 \(m!\),则可以使得集合 「有序化」 . 对于一个满足要求的方案,必须满足以下 \(3\) 个条件: 没有互相重复的集合 没有空集 集合中的每个元素都必须出现偶数次…

题解: 首先用二进制表示每个音阶是否使用,那么共有$2^{n}-1$(空集不可行)种片段,用$a_{i}$来表示每个片段,问题就是求满足$a_{1}\left (xor\right)a_{2}\left (xor\right)......\left (xor\right)a_{m}==0\&\&a_{i}!=a_{j},1<=i<j<=m$的方案数,我们用$f_{i}$表示片段数为i时,且满足前面式子的答案. 那么首先我们在选取i个片段时,必然是由前i-1个片段决定的,所…

题面 题解 将无序化为有序,最后答案除以$m!$. 设$f[i]$表示选出了$i$个子集,并且满足所有的限制的方案数. 因为转移困难,所以考虑容斥 限制了每个数的出现次数为偶数,所以如果前$i - 1$个子集是确定的,第$i$个的选择唯一, 一定是前面选了奇数次的元素的集合. 所以如果没有其他限制的情况下,选出$i$个自己的方案数为$A_{2^n-1}^{i-1}$ 然后减去第$i$个集合为空的情况,方案数为$f[i-1]$ 然后减去第$i$个集合与之前某个子集相同的情况. 如果将这两个相同的集…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3214 题目大意 一个由\(1\sim n\)的所有整数构成的集合\(S\),求出它的\(m\)个不同非空子集满足每个元素都出现了偶数次. 解题思路 集合的话不用考虑顺序,可以输出有序的答案除以\(m!\)就好了. 选\(i\)个的话,考虑偶数次的条件,无论前面\(i-1\)个集合如何选取,最后一个都能根据情况调整过来,所以不考虑重复的话方案就是\(P_{2^n}^{i-1}\) 设\(f_i\)表示选出\(i…

题目 Source http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5838 Description Zhu found a map which is a N∗M rectangular grid.Each cell has a height and there are no two cells which have the same height. But this map is too old to get the clear information,so…

2669: [cqoi2012]局部极小值 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 561  Solved: 293[Submit][Status][Discuss] Description 有一个n行m列的整数矩阵,其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次.如果一个格子比所有相邻格子(相邻是指有公共边或公共顶点)都小,我们说这个格子是局部极小值. 给出所有局部极小值的位置,你的任务是判断有多少个可能的矩阵. Input 输入第一行包含两个整数…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1518.html 题目传送门 - 51Nod1518 题意 51Nod真是个好OJ ,题意概括的真好,有助于博主偷懒不写题意概括.给51Nod 点赞! 题解 首先,我们忽略那个“稳定”的要求,求方案数. 显然是一个插头dp裸题,我们可以在 $O(n^2\cdot 2^n)$ 的时间复杂度中求出所有长宽的矩形区域的覆盖方案数. 然后我们考虑容斥原理,奇加偶减.首先,枚举哪些相邻行之间有一条不穿过骨牌的…

题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2546 思路 首先要判断卡里的钱是不是大于等于5元,如果不足5元,直接输出余额:如果大于等于5元,则先留5元买最贵的菜max_dish,再用剩下的钱买剩余的菜(不包括最贵的菜),使得菜的总价最大,最大为max_value,max_dish+max_value就是使用卡里的钱所能买到菜的总价的最大值,5 -(max_dish+max_value)就是答案. 代码 #include <algorithm>…