Description 小明的爸爸从外面旅游回来给她带来了一个礼物,小明高兴地跑回自己的房间,拆开一看是一个很大棋盘(非常大),小明有所失望.不过没过几天发现了大棋盘的好玩之处.从起点(0,0)走到终点(n,n)的非降路径数是C(2n,n),现在小明随机取出1个素数p, 他想知道C(2n,n)恰好被p整除多少次?小明想了很长时间都没想出来,现在想请你帮助小明解决这个问题,对于你来说应该不难吧! Input 有多组测试数据. 第一行是一个正整数T,表示测试数据的组数.接下来每组2个数分别是n和p的…

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http://codeforces.com/gym/100633/problem/J 其实这个解法不难学的,不需要太多的数学.但是证明的话,我可能给不了严格的证明.可以看看这篇文章 http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html   膜拜 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include…

原题: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5651 很容易看出来的是,如果一个字符串中,多于一个字母出现奇数次,则该字符串无法形成回文串,因为不能删减字母. 当能构成回文串时,我们只需考虑这个回文串左半部分的情况,所以这个问题也就变成了求一半字符串的有重复的全排列. 因为应用全排列公式中,会用大数除以大数再取余,除法不能简单的分子.分母取余再做除法,这时就要用到乘法逆元,同时用费马小定理求乘法逆元 相关公式:http://www.cnblogs.…

Tom and matrix Problem's Link:   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226 Mean: 题意很简单,略. analyse: 直接可以用Lucas定理+快速幂水过的,但是我却作死的用了另一种方法. 方法一:Lucas定理+快速幂水过 方法二:首先问题可以转化为求(0,0),(n,m)这个子矩阵的所有数之和.画个图容易得到一个做法,对于n<=m,答案就是2^0+2^1+...+2^m=2^(m+1)-1,对于n>m…

A Boring Question Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 156    Accepted Submission(s): 72 Problem Description       Input   The first line of the input contains the only integer T,(1≤T…

DP? Problem Description Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern…

Lucas定理这里有详细的证明. 其实就是针对n, m很大时,要求组合数C(n, m) % p, 一般来说如果p <= 10^5,那么就能很方便的将n,m转化为10^5以下这样就可以按照乘法逆元的方法求解. 定义: C(n, m) = C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p) (mod p) 一种比较好理解的证明方式是这样的, 上面资料中有提到, 由p为质数,(1+x)^p = 1+x^p (mod p) p为质数,然后就是下面这幅图的内容了. 将n, m分别表示成p进制,n = n/p*…

3283: 运算器 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 184  Solved: 59[Submit][Status][Discuss] Description 操作有3种:   Input 第一行一个正整数N,描述数据组数. 接下来的N行,每行4个正整数Sum,y,z,p. Sum表述询问类型,如上题所述.对于第2种要求,若X不存在,则输出“Math Error”   Output   要求有N行输出,每行一个整数,为询问的答案. S…

问题描述: 林记在做数学习题的时候,经常遇到这种情况:苦思冥想了很久终于把问题解出来,结果发现答案是0,久而久之林记在得到习题答案是0的时候就没有了做出一道难题的成就感.于是林记决定:以后出题,答案一定不能是0,例如求n!最低位非零数这样的习题就很不错了. 现在林记提出了一个更难一点的问题:求n!在K进制下的最低位非零数.其中K符合一些特殊的条件:K是由若干个互不相同的质数相乘得出来的,例如K=2,3,5,6,7,10…… 输入格式: 首先输入的第一行是一个整数Q,表示询问的个数. 接下来是Q个…

今天考试的题目中有大组合数取模,不会唉,丢了45分,我真是个弱鸡,现在还不会lucas. 所以今天看了一下,定理差不多是: (1)Lucas定理:p为素数,则有: 即:lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)  然后留下我的理解: 用递归的方式去证明这个式子: 先考虑阶乘,在%p的意义下,x!=(p!^(x/p))*(x/p)!*(x%p)!这里把有p因子的数不模p,用于组合数的'抵消'. 在看到组合数 : C(x,y)=x!/((x-y)!*y!) =(…

对于很大的组合数不能用C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n-1, m -1)来求,这里就用到Lucas定理. 模板题: hdu3037:模板如下: #include <cstdio> using namespace std; ; typedef long long ll; ll F[maxn]; //求1-p所有的阶乘模上p void init(ll p) { F[] = ; ; i <= p; i++) F[i] = F[i - ] * i % p; } //求逆元…

我们在这里介绍一些关于n!的性质. 在计数问题中,经常需要用到n!.有必要了解n!在mod p下的一些性质.下面我们假设p是素数,n!=ape(a无法被p整除),并试图求解e和a mod p(把这个东西算出来可以很好的缩小组合数取模的数据).e是n!中p因子的个数,因此可以使用下面的式子进行计算: n/p+n/p2+n/p3+…… 这个结论很显然,因为n/d和不超过n的能被d整除的个数相等.由于只需要对于pt<=n的t进行计算,因此复杂度O(logp n). 接下来计算a mod p.首先计算n…

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> int main() { int T,N; while(scanf("%d",&T)!=EOF) { int i; for(i=0;i<T;i++) { int sum=0; scanf("%d",&N); while(N) { N/=5; sum+=N; } printf("%d\n",sum); } } return 0;…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226 题意:给一个矩阵a,a[i][j] = C(i,j)(i>=j) or 0(i < j),求(x1,y1),(x2,y2)这个子矩阵里面的所有数的和. 思路:首先可以推导出一个公式C(n,i)+C(n + 1,i)+...+C(m,i) = C(m + 1,i + 1) 知道了这个公式,就可以将子矩阵里每行(或每列)的和值表示成组合数的差值,现在的关键是求出C(n,m)(mod p). 由于…

本篇口胡写给我自己这样的什么都乱证一通的口胡选手 以及那些刚学Matrix-Tree,大致理解了常见的证明但还想看看有什么简单拓展的人- 大概讲一下我自己对Matrix-Tree定理的一些理解.常见版本的证明.我自己的证明,以及简单的一些应用(比如推广到有向图.推广到生成树边权的乘积和什么的,非常基础). 应该看到这里的人都知道Matrix-Tree定理是干什么的吧-就是统计一个无向图的生成树个数,表示成一个行列式. 1.前置定义及性质 首先是Matrix-Tree定理相关的定义:对于一个无向图…

题目如下: Description 请求N!(N<=10000),输出结果对10007取余输入每行一个整数n,遇到-1结束.输出每行一个整数,为对应n的运算结果.   Sample Input 1 2 -1   Sample Output 1 2 分析思路: 题目思路很简单,每读取一个输入就输出对应输入的阶乘.直到遇到输入为-1时结束程序. 核心问题: 这个题目在写的时候遇到的难点是N!实在是太大了,根本储存不下,之后试了long long int 也还是只能储存到20几就会溢出.解决这个问题的…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4869 Turn the pokers Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2001    Accepted Submission(s): 707 Problem Description During summer vacation…

Lucas定理 [原文]2017-02-14 [update]2017-03-28 Lucas定理 计算组合数取模,适用于n很大p较小的时候,可以将计算简化到小于p $ \binom{n}{m} \mod p , p  is  prime$ $ n= n_k * p ^ k + n_{k-1} * p^{k-1}+ ... + n_2 * p^2 + n_1 * p + n_0 $ $ m=m_k * p ^ k +m_{k-1} * p^{k-1}+ ... +m_2 * p^2 +m_1 *…

How Many Sets II Time Limit: 2 Seconds      Memory Limit: 65536 KB Given a set S = {1, 2, ..., n}, number m and p, your job is to count how many set T satisfies the following condition: T is a subset of S |T| = m T does not contain continuous numbers…

0 写在前面 本文受 NaVi_Awson 的启发,甚至一些地方直接引用,在此说明. 1 数论 1.0 gcd 1.0.0 gcd $gcd(a,b) = gcd(b,a\;mod\;b)$ 证明:设 $c\mid a$,$c\mid b$,则 $c\mid (b-a)$. 设 $c\nmid a$,则 $c$ 不是 $a,b-a$ 的公因子. 设 $c\mid a$,$c\nmid b$,则 $c$ 不是 $a,b-a$ 的公因子. int gcd(int a,int b){ if(!b) r…

Description 给定n,m,p(1≤n,m,p≤10​^5​​) 求 C_{n+m}^{m} \mod p 保证P为prime C表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. Input 第一行一个整数T(T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 Output 共T行,每行一个整数表示答案. Sample Input 2 1 2 5 2 1 5 Sample Output 3 3 题解 $Lucas$定理. 就是$C^m _n \mod p = C^{m/p…

Lucas定理 在『组合数学基础』中,我们已经提出了\(Lucas\)定理,并给出了\(Lucas\)定理的证明,本文仅将简单回顾,并给出代码. \(Lucas\)定理:当\(p\)为质数时,\(C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\ p)\). 在计算模域组合数时,如果模数较小,那么就可以尝试使用\(Lucas\)定理来递归求解,其时间复杂度为\(O(plog_p\min(n,m))\). \(Code:\) inlin…

方便复制 快速乘/幂 时间复杂度 \(O(\log n)\). ll nmod; //快速乘 ll qmul(ll a,ll b){ ll l=a*(b>>hb)%nmod*(1ll<<hb)%nmod; ll r=a*(b&((1<<hb)-1))%nmod; return (l+r)%nmod; } //快速幂 ll qpow(ll a,ll b){ ll res=1; while(b){ if(b&1)res=res*a%nmod; a=a*a%n…

2982: combination Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 664  Solved: 397[Submit][Status][Discuss] Description LMZ有n个不同的基友,他每天晚上要选m个进行[河蟹],而且要求每天晚上的选择都不一样.那么LMZ能够持续多少个这样的夜晚呢?当然,LMZ的一年有10007天,所以他想知道答案mod 10007的值.(1<=m<=n<=200,000,000) Inpu…

[数论]卢卡斯定理模板 洛谷P3807 >>>>题目 [题目] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 [输入格式] 第一行一个整数T(T\le 10T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 [输出格式] 共T行,每行一个整数表示答案. [输入样例] 21 2 52 1 5 [输出样例] 33 >>>>分析 emmmm模板题还是不用分析了吧 卢卡斯定理解决的就是组合数C(n,m…

0 写在前面 0.0 前言 由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. 该文于 2018.3.31 完成最后一次修改(若有出错的地方,之后也会进行维护).其主要内容限于数论和组合计数类数学相关问题.因为版面原因,其余数学方面的总结会以全新的博文呈现. 感谢你的造访. 0.1 记号说明 由于该文完成的间隔跨度太大,不同时期的内容的写法不严谨,甚至 $LaTeX$ 也有许多…

我的FMT是在VFleaKing的论文中学到的.51Nod的评测机好恶心. 题目分析: 题目很明显是要你求一个类似卷积的式子.但是我们可以注意到前面具有组合数,如果拆成阶乘会很大,在模意义下你无法判断奇偶性.另辟蹊径,可以采用Lucas定理分析. 观察组合数的奇偶性,就会发现$\binom{n}{k} % 2 == 0$的充要条件是在模$2$意义下不存在$\binom{0}{1}$.这意味着$\binom{0}{0} \binom{1}{1} \binom{1}{0}$都是可以接受的.换句话说$…

哇,这道题真的好好,让我这个菜鸡充分体会到卢卡斯和欧拉函数的强大! 先把题意抽象出来!就是计算这个东西. p=999911659是素数,p-1=2*3*4679*35617 所以:这样只要求出然后再快速乘法就行了. 那好,怎么做呢? 有模运算的性质得到  然后就是卢卡斯原理. 先把卢卡斯原理放这里: void init(int mod){ //对mod取余后,一定小于mod,因此把mod的阶乘存起来就够用 f[] = ; ; i <= mod; i++){ f[i] = f[i - ] * i…

洛谷题目传送门 蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定\(N,G\),求\(G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)\) 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,\(a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)\),搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子\(a^{p-1}=1(\mod p)\),那原式的指数\(\sum…