欧几里得证明$\sqrt{2}$是无理数

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欧几里得证明$\sqrt{2}$是无理数

选自<费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜>,有少许改动. 原译者:薛密 $\sqrt{2}$是无理数,即不能写成一个分数.欧几里得以反证法证明此结论.第一步是假定相反的事实是真的,即$\sqrt{2}$可以写成某个未知的分数.用$\frac{p}{q}$ 来代表这个假设的分数,其中 $p$ 和 $q$ 是两个整数. 在开始证明本身之前,需要对分数和偶数的某些性质有个基本的了解. (1) 如果任取一个整数并且用2去乘它,那么得到的新数一定是偶数.这基本上就是偶数的定义…

<数论相关>欧几里得与拓展欧几里得证明及应用

欧几里得算法欧几里得算法的复杂度为O(log(n)),是一个非常高效的求最大公约数算法. 在这里不证明欧几里得算法的复杂度,有兴趣的可以访问以下链接:http://blog.sina.com.cn/s/blog_62e4e31a0101feo7.html 定义如下: 欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法.是由古希腊数学家欧几里德在其著作<The Elements>中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法. 计算公式为:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明:…

BZOJ-2242 计算器快速幂+拓展欧几里得+BSGS（数论三合一）

污污污污 2242: [SDOI2011]计算器 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MB Submit: 2312 Solved: 917 [Submit][Status][Discuss] Description 你被要求设计一个计算器完成以下三项任务: 1.给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值: 2.给定y,z,p,计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数: 3.给定y,z,p,计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数…

POJ2677 Tour(DP+双调欧几里得旅行商问题)

Tour Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 3929 Accepted: 1761 Description John Doe, a skilled pilot, enjoys traveling. While on vacation, he rents a small plane and starts visiting beautiful places. To save money, John must…

URAL1204. Idempotents（扩展欧几里得）

1204 大体推推会出来这个式子 x(x-1) = k*n;n = p*q ;x(x-1)%(p*q)==0; 因为p,q都为素数那也就是说x和x-1中必定包含这两个数而且一个里面只能有一个不然会大于等于N 当上面的k=0时 x=0||x=1 这是固定的然后 {x-pi=0; (x-1)-qi = 1}化这一组就会变成pi-qi=1 这就变成了扩展欧几里得必定存在一组解解出来带入一下注意一下负数就可以了下一组同样这样计算 {x-pi=1; (x-1)-qi = 0} #inc…

欧几里得旅行商问题 java与c++实现

双调欧几里得旅行商问题是一个经典动态规划问题.<算法导论(第二版)>思考题15-1 旅行商问题描述:平面上n个点,确定一条连接各点的最短闭合旅程.这个解的一般形式为NP的(在多项式时间内可以求出) J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonictour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始,严格地从左到右直至最右点,然后严格地从右到左直至出发点.下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线.在这种情况下,多项式的算法是可能的.事实上,存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算…

[POJ1845&POJ1061]扩展欧几里得应用两例

扩展欧几里得是用于求解不定方程.线性同余方程和乘法逆元的常用算法. 下面是代码: function Euclid(a,b:int64;var x,y:int64):int64; var t:int64; begin then begin x:=;y:=;exit(a); end else begin Euclid:=Euclid(b,a mod b,x,y); t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*y; end; end; 下面出现了其中后两个应用.(虽然个人认为不定方程和同余方程可…