[证明3|n(n+1)(2n+1)] n(n+1)(2n+1) => n(n+1)(n+2+n-1) => n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n-1) 因为n(n+1)(n+2).n(n+1)(n-1)是连续的3个整数,故: 3|n(n+1)(n+2) & 3|n(n+1)(n-1) ＝>3|n(n+1)(2n+1)…

\(\zeta (2n)\)的几种求法 目录 $\zeta (2n)$的几种求法 结论 欧拉的证明 进一步探索,$\zeta$ 函数.余切.伯努利数的关系 傅立叶分析证明 留数法证明 参考资料 结论 \[\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \] 欧拉的证明 PS:欧拉在<无穷小分析引论中>,是对 \(e^x + e^{-x}\) 的展开系数进行分析,而下文是对 \(\frac{\sin(x)}{x}\) 分析,两者几乎没…

哇..原来莫比乌斯代码这么短..顿时感觉逼格-- 写了这道题以后,才稍稍对莫比乌斯函数理解了一些 定理:和是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件,那么我们得到结论 在上面的公式中有一个函数,它的定义如下: (1)若,那么 (2)若,均为互异素数,那么 (3)其它情况下 那么在这道题的情况下,答案所求的是互异素数的乘积,利用容斥原理的思想我们可以发现:这与莫比乌斯函数恰巧是吻合的 首先二分答案(这里一开始我想错了,我一直在想二分选取质数的上界,然后怎么就搞不出来了..) 首先有一个奇怪的证…

都是数学题 思维最重要,什么什么数都没用,DP直接乱搞(雾.. 参考LH课件,以及资料:http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html 做到有关的题目会更新 n个乒乓球放到m个盒子里的方案数 1.球相同,盒子不同,不允许空 分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 ,$\binom{n-1}{m-1}$ 2.球相同,盒子不同,允许空 $(1)$ 加入m个球变成不允许空 $(2)$ m-1个隔板和球放在一起,从中选m-1个做隔板 $C_{n+m…

题目链接 问题在于操作二.操作二可以拆分成:区间加\(C\).区间(对\(0\))取\(\max\). 注意到操作一的\(C\)都是非负数,即数列中不会出现负数,所以我们直接维护最小值和最小值出现的次数即可得到操作三的答案. 操作一的赋值和操作二的加都是模板.但是取\(\max\)会影响最小值的个数(某些\(>mn\)的值可能一起变成最小值). 参照吉司机线段树,我们还需要维护严格次小值\(se\). 进行\(\max(v)\)操作时,若\(mn[rt]\geq v\),则直接返回:若\(se[…

题意 传送门 MY市NS中学,大概是绵阳市南山中学. 分析 参照Maxwei_wzj的题解. 因为成对的贡献比较难做,我们尝试把贡献算到每一个叶子节点上.我们发现按照题目中的收费方式,它等价于对于每棵子树,A和B哪个更少,就统计这样的贡献:对于每个这种类型的用户\(i\),如果\(i,j\)的LCA是当前子树的根,则累计\(F(i,j)\). 为什么等价呢?因为观察计费形式, 假设A更少,那么对所有满足LCA为当前根的点对\((i,j)\),如果两个同为A,则累计两次\(F(i,j)\),等价于…

思路: 后面nlogn的部分是伪证... 大家可以构造数据证明是这是nlog^2n的啊~ 吉老司机翻车了 //By SiriusRen #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; ; int cases,n,m,op,xx,yy,zz; typedef long long ll; ]; void push_up(int pos){ tr[pos].max2=;,rson=pos<<|; tr[p…

后缀自动机 定义 定义 SAM 为一个有限状态自动机,接受且仅接受 \(S\) 的一个后缀. 同时,SAM 是这样的自动机中最小的那个,其中状态数至多为 \(2n - 1\),转移数至多为 \(3n - 4\). 基本性质 SAM 是一张 DAG. SAM 上从源点 \(t_0\) 出发经过的任意一条路径为原串的一个子串,因此 SAM 上一个节点对应一个子串集合. 单有这些基础性质是不够的,我们可以考虑多寻找一些 SAM 的性质来使用必要条件构造出 SAM. 首先我们需要引入一些强相关定义: 结…

出自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4cb6ee6c0102xh17.html…

选自<费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜>,有少许改动. 原译者:薛密 \(\sqrt{2}\)是无理数,即不能写成一个分数.欧几里得以反证法证明此结论.第一步是假定相反的事实是真的,即\(\sqrt{2}\)可以写成某个未知的分数.用\(\frac{p}{q}\) 来代表这个假设的分数,其中 \(p\) 和 \(q\) 是两个整数. 在开始证明本身之前,需要对分数和偶数的某些性质有个基本的了解. (1) 如果任取一个整数并且用2去乘它,那么得到的新数一定是偶数.这基本上就是偶数的定义…