方法二:LCT+矩阵乘法 上文中,我们用线段树来维护重链上的各种矩阵转移. 第二种方法是将树链剖分替换为动态树. 我们知道,矩阵乘法 $\begin{bmatrix} F_{u,0} & F_{u,0}\\ F_{u,1}  & -\infty \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} F_{i,0}\\F_{i,1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{u,0}\\F_{u,1} \end{bmatrix}$ 中第一个矩阵中的每一…

题面 给定一棵 \(n\) 个点的树,点带点权. 有 \(m\) 次操作,每次操作给定 \(x,y\) ,表示修改点 \(x\) 的权值为 \(y\) . 你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小. 题解 如题所示 , 是个模板题 ... 首先考虑静态 \(dp\) , 令 \(dp_{u,0/1}\) 为 \(u\) 不存在 / 存在 于最大权独立集的权值大小 . 然后转移很显然 , 一个点存在于独立集中时 , 儿子全都不能选 . 不存在时 , 儿子可选可不选 . 令 \(v\)…

传送门 Solution \(f_{i,0}\) 表示以i节点为根的子树内,不选i号节点的最大独立集 \(f_{i,1}\)表示以i节点为根的子树内,选i号节点的最大独立集 \(g_{i,0}\) 表示以i节点为根的子树内,不选i号节点,不算它的重节点子树的最大独立集 \(g_{i,1}\) 表示以i节点为根的子树内,选i号节点,不算它的重节点子树的最大独立集 把矩阵乘法的加法改成max,乘法改成加法,仍然符合结合律. 先进行树链剖分,对于同一条链上的点,我们的更新可以写成如下的矩阵乘法: \[…

题目描述 小Z所在的城市有N个公交车站,排列在一条长(N-1)km的直线上,从左到右依次编号为1到N,相邻公交车站间的距离均为1km. 作为公交车线路的规划者,小Z调查了市民的需求,决定按下述规则设计线路: 1.设共K辆公交车,则1到K号站作为始发站,N-K+1到N号台作为终点站. 2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过(始发站和终点站也算被经过).  3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台.  4.一辆公交车经过的相邻两个 站台间距离不得超过Pkm. 在最终设计线路之前,小Z想知道…

题目描述 输入 第一行一个正整数,表示数据组数据 ,接下来T行每行一个正整数N 输出 2*T行第2*i-1行表示第i个数据中问题一的解, 第2*i行表示第i个数据中问题二的解, 样例输入 1 1 样例输出 1 2 题解 数位dp+矩阵乘法 $x\ xor\ 3x=2x$即$x\ xor\ 2x=3x$.而亦或的运算规则为“相同为0,不同为1”,也就是说当且仅当$a\ and\ b$不为0,即有共同的位是1时,$a\ xor\ b\neq a+b$. 所以如果$x$满足条件,则$x$与$2x$没有…

用途 对于某些树形dp(目前只会树上最大权独立集或者类似的),动态地修改点权,并询问修改后的dp值 做法(树剖版) 以最大权独立集为例 设$f[x][0/1]$表示x选不选,这棵子树的最大权独立集大小 那么有(设y是x的孩子) $$f[x][0]=\sum{max\{f[y][0],f[y][1]\}} , f[x][1]=val[x]+\sum{f[y][0]}$$ 那么在只关心其中的一个孩子y'的情况下,我们可以得到方程 $$f[x][0]=S_0+max\{f[y'][0],f[y'][1…

4386: [POI2015]Wycieczki Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 197  Solved: 49[Submit][Status][Discuss] Description 给定一张n个点m条边的带权有向图,每条边的边权只可能是1,2,3中的一种.将所有可能的路径按路径长度排序,请输出第k小的路径的长度,注意路径不一定是简单路径,即可以重复走同一个点. Input 第一行包含三个整数n,m,k(1<=n<=40,1&…

题目传送门 题目大意:计算数列a的第n项,其中: \[a[1] = a[2] = a[3] = 1\] \[a[i] = a[i-3] + a[i - 1]\] \[(n ≤ 2 \times 10^9)\] 一般的递推是O(n)的,显然时间和空间都不能承受. 由于每一步递推都是相同的.这句话包含了2个层面:首先,递推式是相同的:其次,递推的条件也要是相同的.综合来说,每一步的递推都是相同的.这是应用矩阵加速递推的充分条件. 那么怎么进行矩阵加速呢?我们首先观察,第\(i\)项和哪些项有关? 与…

题目链接 参考yww的题解.本来不想写来但是他有一些笔误...而且有些地方不太一样就写篇好了. 不知不觉怎么写了这么多... 另外还是有莫队做法的...(虽然可能卡不过) \(60\)分的\(O(n^2)\)做法就是,令\(f[i]\)表示以\(s[i]\)结尾的不同子序列个数,\(las[c]\)表示\(c\)字符上次出现的位置(没有出现过则为\(-1\)),转移是:\[f[i]=\begin{cases}2f[i-1]+1&,las[s[i]]=-1\\2f[i-1]-f[las[s[i]]…

We consider problems concerning the number of ways in which a number can be written as a sum. If the order of the terms in the sum is taken into account the sum is called a composition and the number of compositions of n is denoted by c(n). Thus, the…