gcd就是求a和b最大公约数,一般方法就是递推.不多说,上代码. 一.迭代法 int gcd(int m, int n) { ) { int c = n % m; n = m; m = c; } return n; } 二.递归法 int Gcd(int a, int b) { ) return a; return Gcd(b, a % b); } 但exgcd是个什么玩意??? 百度了一下,百科这么讲的: 对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然…

斐蜀定理 内容 斐蜀定理又叫贝祖定理,它的内容是这样的: 若$a,bin N$,那么对于任意x,y,方程$ax+by=gcd(a,b)*k(kin N)$一定有解,且一定有一组解使$ax+by=gcd(a,b)$ 推论 a,b互素的充要条件是方程$ax+by=1$有整数解. 证明 令$d=gcd(a,b)$,则$d|a,d|b$ 那么就能得到$d|(ax+by)$ 于是我们设s为$ax+by$能得到的最小正整数值,则$d|s$. 令$q=adiv s$(此处为整除),$r=amod s$,则$a…

欧几里得算法 又称辗转相除法 迭代求两数 gcd 的做法 由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) int gcd(int a,int b){ if(b==) return a; return gcd(b,a%b); } O(logn) 裴蜀定理: 设 (a,b) = d,则对任意整数 x,y,有 d|(ax+by) 成立: 特别地,一定存在 x,y 满足 ax+by = d 等价的表述:不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数)…

原题地址 题目描述 有一个计数器,计数器的初始值为0,每次操作你可以把计数器的值加上a1,a2,...,an中的任意一个整数,操作次数不限(可以为0次),问计数器的值对m取模后有几种可能. 输入描述: 第一行两个整数n,m接下来一行n个整数表示a1,a2,...,an1≤n≤1001≤m,a1,a2,...,an≤1000000000 输出描述: 输出一个整数表示答案 示例1 输入 复制 3 6 6 4 8 输出 复制 3 题解:假设K1为A1取的个数:根据题意题目变成a1*k1+a2*k2+a…

裴蜀定理:若a,b是整数,且gcd(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立. 所以最后能得到的最小燃料书就是gcd,所以直接对因数计数然后找最小的个数大于k的因数就是答案 #include<iostream> #include<cstdio> #include<map> using namespace std; const int N=1005; int n,k,a[N],mx; map<…

欧几里得算法: \[gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\] 证明: 显然(大雾) 扩展欧几里得及证明: 为解决一个形如 \[ax+by=c\] 的方程. 根据裴蜀定理,当且仅当 \[gcd(a,b)|c\] 时方程有解. 然后解这个方程... 我觉得大概就是: 我们设 \[ax_1+by_1=gcd(a,b)\] \[bx_2+(a\bmod b) y_2=gcd(b,a\bmod b)\] 根据欧几里得以及\(a\bmod b=a-\lfloor a/b\rfloor\)有 \[…

我们接着上面的欧几里得算法说 扩展欧几里得算法 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式\(^①\): ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理).扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中. ①:裴蜀定理: 裴蜀定理\((Bezouts identity)\)是代数几何中一个定理,其内容是若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则存在整数x,y,使…

裴蜀定理: 对于\(a,b\in N^*, x, y\in Z\),方程\(ax+by=k\)当且仅当\(gcd(a, b)|k\)时有解. 证明: 必要性显然. 充分性:只需证明当\(k=gcd(a, b)\)有解. 设\(s\)为令方程有解的最小\(k\)值,\(gcd(a, b) = d\),首先有\(d|s\). 设$t = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor,r = a \bmod s $ 则\(r = a - t * s = a - (ax + by)*t = (…

2299: [HAOI2011]向量 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 1118  Solved: 488[Submit][Status][Discuss] Description 给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y). 说明:这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)…

1441: Min Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 471  Solved: 314[Submit][Status][Discuss] Description 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 Input 第一行给出数字N,代表有N个数下面一行给出N个数 Output S的最小值 Sample Input 24059 -1782 Sample Outpu…

一开始真没想出解法...后来发现那么水.... 2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 970 Solved: 577 [Submit][Status][Discuss] Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1441 这东西竟然还有个名词叫裴蜀定理................ 裸题不说....<初等数论>上边写得很清楚:如果对于任意d|ai,有d|sum{aixi} 所以求出d就行了...显然gcd.. ls纯属我中二.... 裴蜀定理是:存在$d=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$使得$\sum_{i=1}^{n} a_ix_i$.... 而我上边说的压根就没表示出来........…

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1326  Solved: 815[Submit][Status][Discuss] Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy 将 K个瓶子交给…

https://www.nowcoder.com/acm/contest/160/A 题目描述 有一个计数器,计数器的初始值为0,每次操作你可以把计数器的值加上a1,a2,...,an中的任意一个整数,操作次数不限(可以为0次),问计数器的值对m取模后有几种可能. 输入描述: 第一行两个整数n,m接下来一行n个整数表示a1,a2...an 1≤n≤1001≤m,a1,a2,...,an≤1000000000 输出描述: 输出一个整数表示答案 输入例子: 3 6 6 4 8 输出例子: 3 -->…

[BZOJ 2299][HAOI 2011]向量 Description 给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y). 说明:这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y) Input 第一行数组组数t,(t<=50000) 接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2109<=a,b,x,y<=2109) Output t行每行为Y…

题意:有编号为0~n-1的n个游戏,每个活动都有一个价值(可为负),给你m,s和k,你可以从任意一个编号开始玩,但是下一个游戏必须是编号为(i + k)%n的游戏,你最多能玩m次游戏,问你如果最后你手里要有s的价值,那么你至少一开始要有多少价值. 思路:由裴蜀定理可以知道,如果有n个值首尾相连,间隔为k地走,那么最后会有一个循环节,这样的循环节一共有gcd(n, k)个,每个循环节长度n / gcd(n, k)个.所以我们只要找出所有循环节,并且把每个循环节的最大价值算出来就行了.对于每个循环节…

E. Border time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Astronaut Natasha arrived on Mars. She knows that the Martians are very poor aliens. To ensure a better life for the Mars citizens,…

Description 有 \(n\) 个人围成一个圈,按照顺时针从 \(1\) 到 \(n\) 编号.第 \(1\) 个人会拿到一个球,他指定一个数字 \(k\),然后会将球传给他后面顺指针数第 \(k\) 个人.再次传到 \(1\) 后游戏结束.定义一次游戏的 \(ans\) 为所有拿到球的人的编号之和 (\(1\) 只算一次).求所有可能的 \(ans\),按照升序输出,保证不超过 \(10^5\) 个 Input 一个整数 \(n\) Output 一行多个整数,代表所有可能的 \(an…

裴蜀定理的扩展 最后返回的一定是\(k\)个数的\(gcd\) 因此对于每个数暴力分解因子统计即可 #include <map> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ri register int #define rep(io, st, ed) for(ri io = s…

2018-03-11 17:39:22 一.辗转相除法 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法.辗转相除法首次出现于欧几里得的<几何原本>(第VII卷,命题i和ii)中,而在中国则可以追溯至东汉出现的<九章算术>.辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数.例如,252和105的最大公约数是21(252 = 21 × 12:105 = 21 × 5):因为252 − 105…

题意:给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y). 实际上前四个向量能拼出(ma,nb)(m%2=n%2).后四个向量拼出(xb,ya)(x%2=y%2). 这样可以枚举这四个未知数在模二意义下的解.这两个向量相加为(ma+xb,nb+ya). 对于ma+xb=X.根据系数的奇偶性,如果有系数为奇数,可使得等式两边都减去一个数使得系数都为偶…

题目描述 给出 $n$ 个瓶子和无限的水,每个瓶子有一定的容量.每次你可以将一个瓶子装满水,或将A瓶子内的水倒入B瓶子中直到A倒空或B倒满.$m$ 次操作,每次给 $[l,r]$ 内的瓶子容量增加 $x$ ,或询问使用 $[l,r]$ 内瓶子能够凑出的最小体积. 输入 第一行包括两个数字:瓶子数n,事件数m. 第二行包含n个整数,表示每个瓶子的容量vi. 接下来m行,每行先有三个整数fi li ri. 若fi=1表示询问li到ri他最少能倒腾出的汽油量最少是多少? 若fi=2 再读入一个整数x.…

题目描述 给出 $n$ 个瓶子和无限的水,每个瓶子有一定的容量.每次你可以将一个瓶子装满水,或将A瓶子内的水倒入B瓶子中直到A倒空或B倒满.从中选出 $k$ 个瓶子,使得能够通过这 $k$ 个瓶子凑出的最小体积最大.求这个体积. 输入 第1行:2个整数N,K,  第2..N 行:每行1个整数,第i+1 行的整数为Vi 输出 仅1行,一个整数,表示火星人给出燃料的最大值. 样例输入 3 2 3 4 4 样例输出 4 题解 扩展裴蜀定理+STL-map 显然通过容量为 $v_1,v_2,...,v_…

[BZOJ1441]Min Description 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 Input 第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数 Output S的最小值 Sample Input 2 4059 -1782 Sample Output 99 题解:当n=2时,有裴蜀定理,S的最小值就是gcd(x1,x2): 当n>2时,有拓展裴蜀定理,S的最小值就是gcd(x1,x2...xn). #inc…

题目描述 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 输入 第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数 输出 S的最小值 样例输入 2 4059 -1782 样例输出 99 题解 扩展裴蜀定理 裴蜀定理:二元一次不定方程 $ax+by=c$ 存在整数解的充分必要条件是 $\gcd(a,b)|c$. 扩展裴蜀定理:改成n元一次不定方程,结论依然成立. 证明: $a_1x_1+a_2x_2$ 的取值范围为 $k·\gc…

题目链接 BZOJ2257 题解 由裴蜀定理我们知道,若干的瓶子如此倾倒最小能凑出的是其\(gcd\) 现在我们需要求出\(n\)个瓶子中选出\(K\)个使\(gcd\)最大 每个数求出因数排序即可 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> #define Redge(u…

题目链接 BZOJ2299 题解 题意就是给我们四个方向的向量\((a,b),(b,a),(-a,b),(b,-a)\),求能否凑出\((x,y)\) 显然我们就可以得到一对四元方程组,用裴蜀定理判断一下方程有没有解即可 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> #def…

裴蜀定理 对于整系数方程ax+by=m,设d =(a,b) 方程有整数解当且仅当d|m 这个定理实际上在之前学习拓展欧几里得解不定方程的时候就已经运用到 拓展到多元的方程一样适用 BZOJ1441 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 该方程有解当且仅当gcd(A1...AN)|s 要求s的值最小,那么答案就是gcd(A1..AN) BZOJ2257 jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了.有一天他又去向…

题目: 给出\(n\)个数\((A_1, ... ,A_n)\)现求一组整数序列\((X_1, ... X_n)\)使得\(S=A_1*X_1+ ...+ A_n*X_n > 0\),且\(S\)的值最小 题解: 貌似这是什么裴蜀定理... 总之多试几个样例就会发现答案是所有数的gcd #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef lon…

jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy.所有的瓶子都没有刻度,只在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) . 火星人比较吝啬,他们并不会把所有的瓶子都装满燃料.他们拿到瓶子后…