不等约束 上篇文章介绍了如何在等式约束下使用拉格朗日乘子法,然而真实的世界哪有那么多等式约束?我们碰到的大多数问题都是不等约束.对于不等约束的优化问题,可以这样描述: 其中f(x)是目标函数,g(x)为不等式约束,h(x)为等式约束,x = x1, x2, …… xk. 对于不等约束来说,无非是大于(包括大于等于)和小于(包括小于等于),常见的不等约束是这样: 就像等式约束总是转换成g(x) = 0一样,我们也希望所有的不等约束都用小于号表达,所以首先将两个不等约束转换为小于0的形式: 优化问题…

作者:@wzyer 拉格朗日乘子法无疑是最优化理论中最重要的一个方法.但是现在网上并没有很好的完整介绍整个方法的文章.我这里尝试详细介绍一下这方面的有关问题,插入自己的一些理解,希望能够对大家有帮助.本文分为两个部分:第一部分是数学上的定义以及公式上的推导:第二部分主要是一些常用方法的直观解释.初学者可以先看第二部分,但是第二部分会用到第一部分中的一些结论.请读者自行选择. 拉格朗日乘子法的数学基础 共轭函数 对于一个函数f:Rn→R(不要求是凸函数),我们可以定义它的共轭函数f⋆:Rn→R为:…

关于拉格朗日乘子法与KKT条件 关于拉格朗日乘子法与KKT条件   目录 拉格朗日乘子法的数学基础 共轭函数 拉格朗日函数 拉格朗日对偶函数 目标函数最优值的下界 拉格朗日对偶函数与共轭函数的联系 拉格朗日对偶问题 如何显式的表述拉格朗日对偶问题 由定义消去下确界 隐式求解约束 共轭函数法 弱对偶 强对偶 原始问题与对偶问题的关系 最优条件 互补松弛条件 KKT条件 一般问题的KKT条件 凸问题的KKT条件 KKT条件的用途 拉格朗日乘数法的形象化解读 等式约束的拉格朗日乘子法 含有不等约束的情…

1 前言 拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)  和 KKT(Karush-Kuhn-Tucker)  条件是求解约束优化问题的重要方法,在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用 KKT 条件.当然,这两个方法求得的结果只是必要条件,只有当目标函数是凸函数的情况下,才能保证是充分必要条件. 1.1 最优化问题三种约束条件 1:无约束条件 解决方法通常是函数对变量求导,令导函数等于0的点可能是极值点,将结果带回原函数进行验证. 2:等式约束条件 设目标函数为 $f(…

整理自其他优秀博文及自己理解. 目录 无约束优化 等式约束 不等式约束(KKT条件) 1.无约束优化 无约束优化问题即高数下册中的 “多元函数的极值"  部分. 驻点:所有偏导数皆为0的点: 极值点:在邻域内最大或最小的点: 最值点:在定义域内最大或最小的点: 关系: 驻点不一定是极值点,极值点一定是驻点: 极值点不一定是最值点,最值点一定是极值点: 求解最值: 求出所有的极值点,将所有的极值点带入函数中,最大或最小的那个就是最值点. 2.等式约束 等式约束问题即高数下册中的 “条件极值  拉格…

目录 1 将有约束问题转化为无约束问题 1.1 拉格朗日法 1.1.1 KKT条件 1.1.2 拉格朗日法更新方程 1.1.3 凸优化问题下的拉格朗日法 1.2 罚函数法 2 对梯度算法进行修改,使其运用在有约束条件下 2.1 投影法 2.1.1 梯度下降法 to 投影梯度法 2.1.2 正交投影算子 References 相关博客 梯度下降法.最速下降法.牛顿法等迭代求解方法,都是在无约束的条件下使用的,而在有约束的问题中,直接使用这些梯度方法会有问题,如更新后的值不满足约束条件. 那么问题来…

优化问题: 其中, 定义:对于一个不等式约束,如果,那么称不等式约束是处起作用的约束. 定义:设满足,设为起作用不等式约束的下标集: 如果向量:是线性无关的,则称是一个正则点. 下面给出某个点是局部极小点的一阶必要条件(即如果是极小点,那么必然满足下列条件),称为KKT条件: 设,设是的一个正则点和局部极小点,使得以下条件成立: 为拉格朗日乘子向量,为KKT乘子向量.…

SVM有很多实现,现在只关注其中最流行的一种实现,即序列最小优化(Sequential Minimal Optimization,SMO)算法,然后介绍如何使用一种核函数(kernel)的方式将SVM扩展到更多的数据集上. 1.基于最大间隔分隔数据 几个概念: 1.线性可分(linearly separable):对于图6-1中的圆形点和方形点,如果很容易就可以在图中画出一条直线将两组数据点分开,就称这组数据为线性可分数据 2.分隔超平面(separating hyperplane):将数据集分…

在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法.在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件. 我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题).提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子.对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象.二者均是求解最优化问题的方法,不…

主讲人 网神 (新浪微博: @豆角茄子麻酱凉面) 网神(66707180) 18:59:22  大家好,今天一起交流下PRML第7章.第六章核函数里提到,有一类机器学习算法,不是对参数做点估计或求其分布,而是保留训练样本,在预测阶段,计算待预测样本跟训练样本的相似性来做预测,例如KNN方法. 将线性模型转换成对偶形式,就可以利用核函数来计算相似性,同时避免了直接做高维度的向量内积运算.本章是稀疏向量机,同样基于核函数,用训练样本直接对新样本做预测,而且只使用了少量训练样本,所以具有稀疏性,叫sp…