题目链接:洛谷 题目大意:求所有$n$个点的有根二叉树的叶子节点数总和/$n$个点的有根二叉树的个数. 数据范围:$n\leq 10^9$ 生成函数神题!!!!(我只是来水博客的) 首先$n$个点的有根二叉树的个数就是卡特兰数,我们考虑求分子. 设卡特兰数$g_i=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$,分子是$f_i$则 $$f_n=2*\sum_{i=0}^{n-1}g_i*f_{n-i-1}(n\geq 2)$$ $$g_n=\sum_{i=0}^{n-1}g_i*g_{n-i-1}(…

4001: [TJOI2015]概率论 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 262  Solved: 108[Submit][Status][Discuss] Description   Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数   Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9   Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 Source…

[BZOJ4001][TJOI2015]概率论(生成函数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 这题好仙啊.... 设\(g_n\)表示\(n\)个点的二叉树个数,\(f_n\)表示\(n\)个点的二叉树的叶子个数. 最终要求的东西就是\(\frac{f_n}{g_n}\). 考虑这个玩意怎么转移,先考虑二叉树个数,即怎么求\(f_n\). 每次我们认为新加入的点作为根节点,那么接下来只需要枚举其左右子树大小就行了,所以得到: \[g_n=\sum_{i=0}^{n-1}g_ig_{n-1-i}\] 然…

[TJOI2015]概率论 史上最短黑题 看起来一脸懵逼,没有取模,1e-9 根据期望定义,发现 分母是一个卡特兰数,,,,不能直接算 所以考虑怎么消掉一些东西 gn表示n个点的叶子个数和,fn表示n个点二叉树个数 结论:g(n)=n*f(n-1) 考虑每个n个点的树的叶子,分别拔掉所有k个叶子,给剩下的k个(n-1)个点的树打上标记 那么,g(n)就是n-1个点的所有的树被打的标记之和 一个n-1个点的树,有n个位置可以有叶子,恰好会被打n次标记! 然后,ans(n)=g(n)/f(n),f(…

题目链接 bzoj4001: [TJOI2015]概率论 题解 生成函数+求导 设\(g(n)\)表示有\(n\)个节点的二叉树的个数,\(g(0) = 1\) 设\(f(x)\)表示\(n\)个节点的二叉树叶子节点的个数,\(f_0 = 0,f_1 = 1\) 那么\(ans = \frac{f_i}{g_i}\) 对于\(g_i\) 考虑有一颗\(n\)个点的二叉树,由于左右字数都是二叉树,枚举左右子树的点数 \[g_n = \sum_{i = 0}^{n - 1}g_ig_{n - i -…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 为了提高智商,ZJY开始学习概率论.有一天,她想到了这样一个问题:对于一棵随机生成的n个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢? 判断两棵树是否同构的伪代码如下: \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 输入一个正整数n,表示有根树的结点数 \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 输出这棵树期望的叶子节点数,要求误差小于1e-9 \(\color{#0066ff}{输入样例}…

题目描述: Description: Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 洛谷链接 BZOJ链接 思路: 一眼数学期望(毕竟题目里都已经说了),那期望是什么呢??? 在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一.它反映随机…

题意 求节点数为\(n\)的有根树期望的叶子结点数.(\(n \le 10^9\)) 分析 神题就打表找规律.. 题解 方案数就是卡特兰数,$h_0=1, h_n = \sum_{i=0}^{n-1} h_i h_{n-1-i} \(. 设叶子数量和为\)f_n\(,则得到\)f_n = 2 \sum_{i=0}^{n-1} f_i h_{n-1-i}$ 设\(H(x)\)表示\(h_n\)的母函数,\(F(x)\)表示\(f_n\)的母函数 容易得到:\[H(x) = x H^2(x) + 1…

题目描述 输入 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 输出 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 样例输入 1 样例输出 1.000000000 提示 1<=N<=10^9 设$f[n]$表示$n$个节点能形成二叉树的方案数,$g[n]$表示所有方案的叶子数之和 $ans=\frac{g[n]}{f[n]}$,f$[n]$就是卡特兰数(这是卡特兰数的一个应用) 那么$g[n]$怎么求呢? 假设一种$n$节点二叉树有$k$个叶子,那么$g[n]=\sum k$ 我们将这$k$个叶子中…

设f(n)为n个节点的二叉树个数,g(n)为n个节点的二叉树的叶子数量之和.则答案为g(n)/f(n). 显然f(n)为卡特兰数.有递推式f(n)=Σf(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 类似地,左子树节点数为i时右子树有f(n-i-1)种情况,那么可以对左子树的叶子节点数之和计数,显然再乘2就是总数了.有递推式g(n)=2Σg(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 因为递推式是卷积形式,考虑生成函数.设F(x).G(x)分别为f(n).g(n)的生成函数(均为无穷级数).则有F…