Gcd▪ 欧几里得算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数 a, b 的最大公约数.▪ 计算公式为 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).▪ 公式无需证明,记忆即可.▪ 如果要求多个数的最大公约数.易证,每次取出两个数再放回去,不会影响答案正确性.▪ 比如 a,b,c 三个数,答案就是 gcd(gcd(a,b),c) int gcd(int a, int b) { if (!b) return a; return gcd(b, a % b); } 扩展 Gcd▪ 求出 ax + by…

gcd就是最大公约数,gcd(x, y)一般用(x, y)表示.与此相对的是lcm,最小公倍数,lcm(x, y)一般用[x, y]表示. 人人都知道:lcm(x, y) = x * y / gcd(x, y) 证明起来也不是很难: (这真的是我自己写的,因为博客园不支持这格式……) 至于gcd的求法,想必各位在高中都学过辗转相除法和更相减损之术,这里只讲辗转相除法(更相减损之术略慢) 首先不妨设 x ≤ y,则gcd(x, y)  =gcd(x, x +y) = gcd(x, y - x).所…

数论基础 数论是纯数学的一个研究分支,主要研究整数的性质.初等数论包括整除理论.同余理论.连分数理论.这一篇主要记录的是同余相关的基础知识. 取模 取模是一种运算,本质就是带余除法,运算结果就是余数.取模运算结果的符号由被模数(被除数)决定. \[ 7\%4=3;\space7\%(-4)=3;\\ (-7)\%4=-3;\space(-7)\%(-4)=-3 \] 取模运算的性质 \[ 设a>b>0,有:\\ (a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c\\ (a-b)\%c=(a\%c-…

欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.其计算原理依赖于下面的定理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b…

LINK 其实就是三个板子 1.快速幂 快速幂,通过把指数转化成二进制位来优化幂运算,基础知识 2.gcd和exgcd gcd就是所谓的辗转相除法,在这里用取模的形式体现出来 \(gcd(a,b)\),因为b中的a对答案没有贡献,考虑把b变成\(b-(b/a)*a\)答案是一样的 所以就可以变成了\(gcd(b,a%b)\),保证大的数在前面,这样当小的数变成0,大的数就是最大公约数 exgcd就是解线性方程\(ax+by=c\) 有解的条件是\(c\%gcd(a,b)=0\) 然后考虑gcd的…

gcd(最大公因数),lcm(最小公倍数) #include<iostream> using namespace std; int gcd(int a,int b)//辗转相除法(欧几里德算法)求最大公约数 { return b ? gcd(b,a%b) : a; } int lcm(int a,int b) { return a*b/gcd(a,b);//最小公倍数 } int main() { int a,b; while(cin>>a>>b) { cout<…

gcd 辗转相除法求gcd证明 \(gcd(a, b) == gcd(b, a\%b)\) 证明: 设: \(d\)为\(a\)与\(b\)的一个公约数, 则有\(d|b\) \(d|a\) 设: \(a = k \times b + r\) 则有\(r = a \% b\) \(r = a - kb\) 同除以\(d\)可得 \(r\over d\) \(=\) \(a\over d\) \(-\) \(kb\over d\) 又\(\because d|b , d|a\) \(\theref…

1.gcd int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; } 2.扩展gcd )extend great common divisor ll exgcd(ll l,ll r,ll &x,ll &y) { if(r==0){x=1;y=0;return l;} else { ll d=exgcd(r,l%r,y,x); y-=l/r*x; return d; } } 3.求a关于m的乘法逆元 ll mod_inverse(ll a,ll m){ l…

int gcd(int a,int b){ ?a:gcd(b,a%b); } 关于lcm,若写成a*b/gcd(a,b) ,a*b可能会溢出! int lcm(int a,int b){ return a/gcd(a,b)*b; }…

网上看了半天……还是没把欧几里得算法和扩展欧几里得算法给弄明白…… 然后想了想自己写一篇文章好了…… 参考文献:https://www.cnblogs.com/hadilo/p/5914302.html https://blog.csdn.net/sky_zdk/article/details/71023325 <算法竞赛进阶指南>(李煜东)(我不是来推销的) ps:本文讨论范围均在整数以内 一.欧几里得算法 欧几里得算法,即辗转相除法,简称gcd,用于计算两个数的最大公约数.时间复杂度据说l…