摘自:http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/27209455 看了好久没看懂,最后在这篇博客中看明白了. 费马定理的应用,加上二次探测定理. Fermat素数测试 1819年有人发现了Fermat小定理逆命题的第一个反例:虽然2的340次方除以341余1,但341=11*31.后来,人们又发现了561, 645, 1105等数都表明a=2时Fermat小定理的逆命题不成立.人们把所有能整除2^(n-1)-1的合数n叫做伪素数(pseudoprime…

额,我们今天来讲一讲Miller-Rabin素性测试算法. 读者:怎么又是随机算法!!!(⊙o⊙)… [好了,言归正传] [费马小定理] 费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael Carmichael数是非常少的. 在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数. 为此又有二次探测定理,以确保该数为素数. 这就构成了Miller-Rabin的基本原理 ╰(￣▽￣)╭ [二次探测定理] 二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则…

之前一直对于这个神奇的素性判定方法感到痴迷而又没有时间去了解.借着学习<信息安全数学基础>将素性这一判定方法学习一遍. 首先证明一下费马小定理. 若p为素数,且gcd(a, p)=1, 则有 a^(p-1) = 1 (mod p) 基于以下定理 若(a, p)=1,{x| (x, p)=1}为模p下的一个完全剩余系,则{ax| (x, p)=1}也为模p下的一个完全剩余系. 又{0, 1, 2, ... p-1}为模p下一个剩余系   因此有, {a*0, a*1, a*2, ... a*(p…

Given a positive integer, your job is writing a program to determine whether it is a prime number or not. Input There are several tests. Each test consists of a positive integer n(no more than 2^31) on a single line. Input is terminated by end of fil…

转载自Matrix大牛的博客 把代码翻译成C++ http://www.matrix67.com/blog/archives/234 题目链接: http://hihocoder.com/problemset/problem/1287 一个数是素数(也叫质数),当且仅当它的约数只有两个——1和它本身.规定这两个约数不能相同,因此1不是素数.对素数的研究属于数论范畴,你可以 看到许多数学家没事就想出一些符合某种性质的素数并称它为某某某素数.整个数论几乎就围绕着整除和素数之类的词转过去转过来.对于写…

题意: 给你一个数n(n <= 2^54),判断n是不是素数,如果是输出Prime,否则输出n最小的素因子 解题思路: 自然数素性测试可以看看Matrix67的  素数与素性测试 素因子分解利用的是Pollard rho因数分解,可以参考 Pollard rho因数分解 存个代码~ /* ********************************************** Author : JayYe Created Time: 2013-9-25 16:02:25 File Name…

如何判断一个素是素数 效率很高的筛法 打个表 (素数的倍数一定是合数) 就可以解决问题. 筛选法的效率很高,但是遇到大素数就无能为力了. 米勒罗宾素性测试是一个相当著名的判断是否是素数的算法 核心为费马小定理: 假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p 的余数恒等于1. 逆推一下即p的 a^(p-1)%p !=1 (0<a<p) ,它一定是合数. 如果 a^(p-1)%p ==1 (0<a<p) 则它可能是合数可能是素数.概率算法…

    Miller-Rabin是一种高效的随机算法,用来检测一个数$p$是否是素数,最坏时间复杂度为$\log^3 p$,正确率约为$1-4^{-k}$,$k$是检验次数. 一.来源     Miller-Rabin是由Miller和Rabin两个人根据费马小定理的逆定理,也就是费马测试优化过来的.费马小定理就是$$a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$$     我们知道当$p$为素数时费马小定理才成立,但是如果一个数满足费马小定理,它一定是素数吗?可以发现,当这个数肥肠小时,它是…

Miller-Rabin 素性测试 Miller-Rabin 素数测试 一本通上的M-R不透彻啊~ Miller-Rabin是利用随机化算法判断一个数是合数还是素数. 首先,如果一个数N是素数,那么他一定满足费马小定理. \(a^{N-1}\equiv1\pmod N\) 我们可以任取数字a,计算这个式子的值来判断N是否为素数. 但是这么做不靠谱啊,有很多合数会被卡~ 我们介绍一个相关的引理. 当p是素数且p大于2时,\(1\bmod p\)的平方根只有1和-1. 证明: 假设x是\(1\bmo…

今天学习一下Miller-Rabbin  素性测试 和 Pollard_rho整数分解. 两者都是概率算法. Miller_Rabbin素性测试是对简单伪素数pseudoprime测试的改进. (pseudoprime测试, POJ 3641 pseudoprime numbers 简单伪素数pseudoprime的原理是费马小定理的逆命题. 费马小定理:p是素数,an-1≡1 mod p. 逆命题几乎成立. 满足逆命题叫做以a为基的伪素数. 几乎是因为被证明存在无数多个合数满足逆命题,叫做Ca…