今年的重庆省选? 具体就是,对于每次修改,A[p,q]这个位置,  设d=gcd(p,q) ,则 gcd为d的每一个格子都会被修改,且他们之间有个不变的联系 A[p,q]/p/q==A[k,t]/k/t   所以只要记录对于gcd为d的所有格子,只要保存A[d][d]的值就可以了. 那么求前k行k列的值ans,则所有gcd(p,q)==d的A[p,q]对答案的贡献就是    { 设k'=k/d;  (下取整)  f[k']*A[p,q]/(p/d)/(q/d) } 首先有个基本结论(当n>1时)…

4815: [Cqoi2017]小Q的表格 题意: 单点修改,查询前缀正方形和.修改后要求满足条件f(a,b)=f(b,a), b×f(a,a+b)=(a+b)*f(a,b) 一开始sb了认为一次只会改动两三个格子想了个cdq分治做法... 一次会影响很多格子... 经过观察以及\((a,b)=(a,a-b)=(a,a+b)\)发现,每次修改影响所有\((i,j)=(a,b)\)的点对,并且关系为\(f(i,j)=\frac{i}{a}\frac{j}{b} f(a,b)\) 我们可以只记录\(…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4815 大概就是推式子的时候注意有两个边界都是 n ,考虑变成 2*... 之类的. 分块维护 f[ ] 的前缀和.很好的思路是修改一个位置后前缀和数组需要区间加,整块地打上加法标记就行了. 自己本来想维护整块之间的前缀和,还有块内的前缀和:却WA得不行.之后再探究为什么WA吧. #include<cstdio> #include<cstring> #include<al…

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4815 题意概述:要认真概述的话这个题就出来了... 分析: 首先分析题目,认真研究一下修改操作,想到一个问题:满足什么样的条件的格子会互相影响? 看到式子,一想,这正是辗转相除?迅速意识到行列的gcd相同的格子会互相影响. 然后我们再利用一下系数的关系,把式子变成f(a,a+b)/(a+b)=f(a,b)/b,发现当行相同的时候格子之间的值与所处列数成正比关系,因为题目保证了f(a,b…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4815 思路就和这里一样:https://blog.csdn.net/leolyun/article/details/70146612 不知为何乘逆元就错了,必须直接除...不过题目保证了是整数,所以直接除也没问题: 然后重新学习了一下分块的简洁写法,就能A了hhh 代码如下: #include<cstdio> #include<cstring> #include<alg…

看了Po神的题解一下子就懂了A了! 不过Po神的代码出锅了-solve中"d-temp"并没有什么用QwQQwQQwQ-应该把模数除以p^temp次方才行. 来自BZOJ讨论板的hack数据 hack data 1 5 3125 7812 正确输出应该是625, 但是很多人输出3125- CODE #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const LL INF = 1e15; i…

题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2219 N次剩余+CRT... 就是各种奇怪的分类讨论.. #include<cstring> #include<iostream> #include<cstdio> #include<map> #include<cmath> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=l;i…

首先问题的意思就是在找出n以内的所有x^2%n=1的数,那么我们可以得到(x+1)(x-1)=y*n,那么我们知道n|(x+1)(x-1),我们设n=a*b,那么我们对于任意的a,我们满足n%a==0,我们可以求出b,我们可以使x+1|a,x-1|b,然后我们可以构造所有满足被b整除的数,然后判断是否能被a整除, 然后再枚举x+1|b,x-1|a的情况,假设一组合法解不能拆开后被a,b分别整除,那么对于另外的a,b我们肯定可以再次枚举出这个解,然后对于相同的解用set去下重就可以了. 反思:手残…

首先我们知道对于f(x)来说,它是一个k次的多项式,那么f(x)的通项公式可以表示成一个k+1次的式子,且因为f(x)没有常数项,所以我们设这个式子为 f(x)=Σ(a[i]*x^i) (1<=i<=k+1) 那么比较显然的是f(x+1)-f(x)=(x+1)^k,因为(x+1)^k=Σc(k,i)*x^i (0<=i<=k),所以我们可以将这个式子的左右展开,可以得到 f(x+1)-f(x)=(x+1)^k    Σ(a[i]*(x+1)^i)-Σ(a[i]*x^i)=(x+1)…

把式子化简一波. 发现一个比较厉害的性质:每个点只能影响到行列下标$gcd$与它相同的点. 然后就可以计算$\sum_{g<=k}f(g,g)*\sum_{i<=k}\sum_{j<=k}[gcd(i,j)==g](i/g)*(i/g)$ 然后考虑它的意义,直接发现计算出$i*i*\phi(i)$的前缀和就可以下界函数分块计算了. 这样子还是过不了.考虑修改次数比较少,考虑分块维护,就可以$O(1)$查询了. 复杂度$m\sqrt {n}$ #include <map> #i…

参考:http://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/70174227 看这个等式的形式就像高精gcd嘛-所以随便算一下就发现每次修改(a,b)影响到的都是横纵坐标gcd为gcd(a,b)的,进而发现可以把gcd(i,j)==d的一部分都归到d上,f(a,b)=f(d,d)ab/d/d ,这样二维就变成一维了,设为f. 然后答案就是: \[ ans=\sum_{d=1}^{k}f(d)\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}[gc…

思路: $(m%k+n%k>=k) *phi(k)$ $我们不妨设n=q_1k+r_1 m=q_2k+r$2 $n+m=(q_1+q_2)k+r1+r2$ ${\lfloor}\frac{n+m}{k}{\rfloor}-{\lfloor}\frac{m}{k}{\rfloor}-{\lfloor}\frac{n}{k}{\rfloor}=(m%k+n%k>=k)$ $原式=phi(k)*({\lfloor}\frac{n+m}{k}{\rfloor}-{\lfloor}\frac{m}{k}…

上次看莫比乌斯繁衍反演是一个月前,讲道理没怎么看懂.. 然后出去跪了二十天, 然后今天又开始看发现其实并不难理解   开个这个仅记录一下写过的题. HAOI 2011 B   这应该是莫比乌斯反演的模板题,有很多题解,不多说. CODE: //HAOI 2011 B //by Cydiater //2016.7.25 #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorit…

中国剩余定理+原根+扩展欧几里得+BSGS 题解:http://blog.csdn.net/regina8023/article/details/44863519 新技能get√: LL Get_yuangen(LL p,LL phi){ ; ;i*i<=phi;i++) ) f[++c]=i,f[++c]=phi/i; ;;g++){ int j; ;j<=c;j++) ) break; ) return g; } ; } 求原根 void Split(int x){ num=; ;i*i&…

bzoj 4176 Lucas的数论 和约数个数和那题差不多.只不过那个题是多组询问,这题只询问一次,并且 \(n\) 开到了 \(10^9\). \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N f(ij)&= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{x|i} \sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\\&= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{x|i} \sum_{y|j} \sum_{d|g…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

[BZOJ 2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 求 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] 分析 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] \[=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{i j}{\mathrm{gcd}(i, j)}\] \[=\sum_{g=1}^{n} \sum_{i=1}^{n/g} \s…

[BZOJ 2820] YY的gcd(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 给定N, M,求\(1\leq x\leq N, 1\leq y\leq M\)且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对.q组询问 分析 我们要求的是 \[\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=p]\](大写P表示质数集合) 根据\(kgcd(i,j)=gcd(ki,kj)\), \[原式=\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^{\lfloo…

2401: 陶陶的难题I Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 89  Solved: 24[Submit][Status] Description 最近陶陶在研究数论,某天他偶然遇到一道题:对于给定的正整数���,求出 下面这样一个式子的值: 其中LCM(a���, b���)表示正整数���和���最小公倍数,即能同时被a���和b���整除的最小正 整数. 作为神犇的陶陶,当然轻松秒杀了这道题.不过他希望你写一个程序,用来 检验他算…

3505: [Cqoi2014]数三角形 Time Limits: 1000 ms  Memory Limits: 524288 KB  Detailed Limits   Description…

n >= k 部分对答案的贡献为 k * (n - k) n < k 部分贡献为 ∑ (k - ⌊k / i⌋ * i)  = ∑  , ⌊k / i⌋ 相等的数是连续的一段, 此时这段连续的数对答案的贡献成等差数列, 可以O(1)求出..然后就分⌊k / i⌋相等的一块一块来就行了. 分出来大概是sqrt(k)块.这个sqrt(k)我并不会证Orz...写了个程序验证了一下, 分出来的块数和2 * sqrt(k)非常接近. 所以时间复杂度为O(sqrt(k)) ---------------…

4176: Lucas的数论 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)\) \(n \le 10^9\) 代入\(\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]\) 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛\(\mu \ \sigma_0\)的前缀和 当然和前面…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4176 题解: 莫比乌斯反演,杜教筛 首先有这么一个结论: 令d(n)表示n的约数的个数(就是题目中的f(n)),则有 $$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$$ ●BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和也用到了这个东西. 那么就下来接直接进行求ANS的式子的推导: $$\begin{aligned}ANS&=\sum_{n=1}^{N…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2…

BZOJ 2226 [Spoj 5971] LCMSum 这道题和上一道题十分类似. \[\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n}\operatorname{LCM}(i, n) &= \sum_{i = 1}^{n}\frac{i \times n}{\operatorname{gcd}(i, n)}\\ &= n \times \sum_{i = 1}^{n}\frac{i}{\operatorname{gcd}(i, n)} \end{align*}\] 设\(…

4176: Lucas的数论 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MB Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Ou…

3834: [Poi2014]Solar Panels Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 367  Solved: 285[Submit][Status][Discuss] Description Having decided to invest in renewable energy, Byteasar started a solar panels factory. It appears that he has hit the go…

题意 \(T\)组数据,每次询问第\(k\)个无平方因子的数(\(1\)不算平方因子),\(T\leq 50,k\leq 10^9\) 题解 \(k\)的范围很大,枚举肯定不行,也没什么奇妙性质,于是可以想到二分. 二分的话我们需要实现一个函数\(f(n)\)表示\(n\)以内的数中无平方因子的数个数 这十分经典,相当于求\(f(n)=\sum_{i=1}^n\mu^2(i)\) 解法就是:我们考虑一个质数\(p\),\(p^2\)的倍数都不满足要求,也就是说答案得减去\(\lfloor \fr…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257 \( \sum\limits_{i=1}^{n}k\%i = \sum\limits_{i=1}^{n}k-\left \lfloor k/i \right \rfloor *i \) 然后数论分块做即可,注意 \( n>k \) 时右边界的取值. 代码如下: #include<cstdio> #include<cstring> #include<algor…

这道题是求组合数终极版. C(n,m) mod P n>=1e9 m>=1e9 P>=1e9且为合数且piqi<=1e5 拓展lucas定理. 实际上就是一点数论小知识的应用. 这篇文章对于CRT和lucas定理的学习非常不错. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define FILE "dealing" #define up(i,j,n) for(i…