引子 求 \[C_n^m\ \text{mod}\ p \] 不保证 \(p\) 是质数. 正文 对于传统的 Lucas 定理,必须要求 \(p\) 是质数才行.若 \(p\) 不一定是质数,则需要扩展 Lucas 定理 前置知识 扩展欧几里得和中国剩余定理. 算法内容 将 \(p\) 用唯一分解定理分解,即 \[p=\prod p_i^{c_i} \] 若求出了 \[{n\choose m}\ \text{mod}\ p_i^{c_i} \] 就可以用中国剩余定理合并答案了.那么此时我们要求的…

题目链接 戳我 前置知识 中国剩余定理(crt)或扩展中国剩余定理(excrt) 乘法逆元 组合数的基本运用 扩展欧几里得(exgcd) 说实话Lucas真的和这个没有什么太大的关系,但是Lucas还是要学学的:戳我 正文 题目是要求: \[c_n^m mod \ p\] 如果这个p是质数的话那太简单了,直接Lucas就好了,但问题是现在p不一定是一个质数. 我们令 \(P=\prod {p_i}^{c_i}\) 我们如果知道每个\(c_n^m mod \ p_i^{c_i}\)的值的话就可以根…

扩展卢卡斯定理用于求如下式子(其中\(p\)不一定是质数): \[C_n^m\ mod\ p\] 我们将这个问题由总体到局部地分为三个层次解决. 层次一:原问题 首先对\(p\)进行质因数分解: \[p=\prod_i p_i^{k_i} \] 显然\(p_i^{k_i}\)是两两互质的,所以如果分别求出\(C_n^m\ mod\ p_i^{k_i}\),就可以构造出若干个形如\(C_n^m=a_i\ mod\ p_i^{k_i}\)的方程,然后用中国剩余定理即可求解. 层次二:组合数模质数幂…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2142 前几天学了扩展卢卡斯定理,今天来磕模板! 这道题式子挺好推的(连我都自己推出来了) ,总之就是在 n 个里取 w[1] 个,剩下的里面再取 w[2] 个,再在剩下的里面取... 这里的模数 P 一看就不是质数啊!大组合数对合数取模,就要用到扩展卢卡斯定理了: 关于扩展卢卡斯定理,可以看这篇博客:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/de…

卢卡斯定理 求\(C_m^n~mod~p\) 设\(m={a_0}^{p_0}+{a_1}^{p_1}+\cdots+{a_k}^{p_k},n={b_0}^{p_0}+{b_1}^{p_1}+\cdots+{b_k}^{p_k}\) 则\(C_m^n\equiv\prod{C_{a_i}^{b_i}}(mod~p)\) 扩展卢卡斯定理 好像这也不是什么定理,只是一个计算方法 计算\(C_m^n~mod~p\),其中\(p={p_1}^{q_1}\times{p_2}^{q_2}\times\c…

扩展卢卡斯定理 求 \(C_n^m \bmod{p}\),其中 \(C\) 为组合数. \(1≤m≤n≤10^{18},2≤p≤1000000\) ,不保证 \(p\) 是质数. Fading的题解 设 \[ p=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} \] 求出 \[ \left\{\begin{align*} C_n^m & \mod & {p_1^{\alpha_1}} \\ C_n^m & \mod & {…

扩展卢卡斯定理 : https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720 卢卡斯定理:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 卢卡斯模板 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N =1e5; ll n, m, p, fac[N]; void init() { int i; fac[] =; ; i…

数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. 现在有方程组:中国剩余定理指出: 扩展中国剩余定理 在一般情况下,要求任两个数互质这个条件太苛刻了,CRT派不上用场,我们需要一个更具普遍性的结论,这就是EX-CRT.虽然是称为EX-CRT,但这个定…

扩展卢卡斯定理 最近光做模板了 想了解卢卡斯定理的去这里,那题也有我的题解 然而这题和卢卡斯定理并没有太大关系(雾 但是,首先要会的是中国剩余定理和exgcd 卢卡斯定理用于求\(n,m\)大,但模数\(p\)是质数,且较小的情况 但这题\(p\)并不保证是质数 所以,首先可以通过唯一分解定理给\(p\)分解乘若干质数相乘的形式:\(p=\prod p_i^{r_i}\),当然\(r\)数列是分解后每个质数的指数 则我们可以对于每个\(p_i^{r_i}\),求出\(\tbinom{n}{m}…

可以先做这个题[SDOI2010]古代猪文 此算法和LUCAS定理没有半毛钱关系. [模板]扩展卢卡斯 不保证P是质数. $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 麻烦的是分母. 如果互质就有逆元了. 所以可以考虑把分子分母不互质的数单独提出来处理. 然鹅P太一般,直接处理要考虑的东西太多. 我们不妨令$p=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$ 对每一个$p_i^{q_i}$分别求解(不妨叫这个数为$pk$)(这样会容易很多) 即求ai满足:$\fr…