试给出在 Coulomb 规范下, 电磁场的标势 $\phi$ 与矢势 ${\bf A}$ 所满足的方程. 解答: 真空中的 Maxwell 方程组为 $$\bee\label{1_10_12:eq} \bea \Div{\bf E}&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p{\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf B}&=\mu_0\sex{\ve_0\cfrac{\p{…

设 $L=L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n)$ 关于变量 $\xi_0>0,\xi_1,\cdots,\xi_n$ 为严格凸的. 证明函数 $$\bex M=\cfrac{1}{\xi_0}L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n) \eex$$ 关于变量 $$\bex \eta_0=\cfrac{1}{\xi_0},\quad \xi_1=\cfrac{\xi_1}{\xi_0},\cdots,\eta_n=\cfrac{\xi_n}{\xi_0} \eex$$…

试讨论 Lagrange 形式下的一维理想磁流体力学方程组 (5. 33)-(5. 39) 的类型. 解答: 由 (5. 33), (5. 39) 知 $$\bex 0=\cfrac{\p p}{\p \tau}\sex{\cfrac{\p \tau}{\p t'}-\cfrac{\p u_1}{\p m}}+\cfrac{\p p}{\p S}\cfrac{\p S}{\p t'} =\cfrac{\p p}{\p t'}-p'(\tau)\cfrac{\p u_1}{\p m}, \eex$…

在一场强为 ${\bf E}_0$ (${\bf E}_0$ 为常向量) 的电场中, 置入一个半径为 $R$ 的导电球体, 试导出球外电势所满足的方程及相应的定解条件. 解答: 设导电球体为 $B_R$, 则 $$\beex \bea \lap\phi=0,&\quad\quad\mbox{in }B_R^c,\\ \phi=\const,&\quad\quad\mbox{on }\p B_R^c,\\ \cfrac{\p\phi}{\p n}=0,&\quad\quad\mbox…

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题 [物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势 [物理学与PDEs]第1章习题5 偶极子的电场强度 [物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题7 载流线圈的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布 [物理学与PDEs]第1章习题9 磁偶极…

[物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程 [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程 [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题 [物理学与PDEs]第2章习题4 习题 3 的变分 [物理学与PDEs]第2章习题5 正应力的平均值 [物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组 [物理学与PDEs]第2章习题7 一维不可压理想流体的求解 [物理学与PDEs]第2章习题8 一维定常粘性不可压缩流体的…

[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场 [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量 [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程 [物理学与PDEs]第3章习题4 理想磁流体的能量守恒方程 [物理学与PDEs]第3章习题5 一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题6 Lagrange 坐标下的一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题7 快.慢及A…

[物理学与PDEs]第4章习题1 反应力学方程组形式的化约 - 动量方程与未燃流体质量平衡方程 [物理学与PDEs]第4章习题2 反应力学方程组形式的化约 - 能量守恒方程 [物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件…

[物理学与PDEs]第5章习题1 矩阵的极分解 [物理学与PDEs]第5章习题2 Jacobian 的物质导数 [物理学与PDEs]第5章习题3 第二 Piola 应力张量的对称性 [物理学与PDEs]第5章习题4 广义 Hookean 定律的张量的对称性 [物理学与PDEs]第5章习题5 超弹性材料中客观性假设的贮能函数表达 [物理学与PDEs]第5章习题6 各向同性材料时强椭圆性条件的等价条件 物理学与PDEs]第5章习题7 各向同性材料时稳定性条件的等价条件 [物理学与PDEs]第5章习题…

设 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 分别为电磁场的标势及矢势 (见第一章 $\S$ 6). 试证明: 若 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 满足条件 $$\bex \phi+\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\Div{\bf A}=0, \eex$$ 则方程 (2. 32) 可写为如下的形式: $$\bex \cfrac{\p {\bf A}}{\p t}={\bf u}\times\rot{\bf A}+\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap{\bf A}.…