p4980 polya定理

【p4980 polya定理】的更多相关文章

传送门分析 orz ymh 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> #include<cctype> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<ctime> #include<queue> #in…

提示: 本文并非严谨的数学分析,有很多地方是自己瞎口胡的,仅供参考.有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念群 $(S,\circ)$ 是一个元素集合 $S$ 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称,其满足以下性质. 封闭性对于 $\forall a,b \in S$ , $\exist c \in S$ 使得 $c = a \circ b$ 结合律对于 $\forall a,b,c \in S$ , \(a \circ (b \circ c) = (…

P4980 【模板】Polya定理

思路 polya定理的模板题,但是还要加一些优化题目的答案就是 \[ \frac{\sum_{i=1}^n n^{gcd(i,n)}}{n} \] 考虑上方的式子怎么求因为$gcd(i,n)$肯定有很多重复,枚举$gcd(i,n)$,因为$gcd(i,n)$是$n$的约数,所以枚举约数 \[ \begin{align}&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^n[gcd(n,k)=d]\\=&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^{\lfloo…

[洛谷P4980]【模板】Polya定理

题目大意:给一个$n$个点的环染色,有$n$中颜色,问有多少种涂色方案是的旋转后本质不同题解:$burnside$引理:$ans=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}A_g$ 对于环,有$Polya$定理:$ans=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}m^{c(g)}$($m$为颜色数,在这道题中$m=n$,$c(g)$为置换$g$中循环个数) 因为是循环相同,所以$|G|=n$,当$g=\left(\begin{smallmatrix}…

【转】Polya定理

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即: Burnside定理:设G(c…

【群论】polya定理

对Polya定理的个人认识我们先来看一道经典题目: He's Circles(SGU 294) 有一个长度为N的环,上面写着“X”和“E”,问本质不同的环有多少个(不能旋转重复就称之为本质不同) 输入样例:4 输出样例:6 那么要怎么办呢?暴力显然暴不出来…… 我们可以考虑使用置换群. 我们有两种算法: ①Burnside引理: 答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as)) 其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的…

[wikioi2926][AHOI2002]黑白瓷砖（Polya定理）

小可可在课余的时候受美术老师的委派从事一项漆绘瓷砖的任务.首先把n(n+1)/2块正六边形瓷砖拼成三角形的形状,右图给出了n=3时拼成的“瓷砖三角形”.然后把每一块瓷砖漆成纯白色或者纯黑色,而且每块瓷砖的正.反两面都必须漆成同样的颜色. 有一天小可可突发奇想,觉得有必要试试看这些瓷砖究竟能够漆成多少种本质不同的图案.所谓两种图案本质不同就是其中的一种图案无论如何旋转.或者翻转.或者同时旋转和翻转都不能得到另外一种图案. 旋转是将瓷砖三角形整体顺时针旋转120度或240度. 翻转是将瓷砖三角形整体…