正解:容斥/杜教筛+二分 解题报告: 传送门$QwQ$ 首先一看这数据范围显然是考虑二分这个数然后$check$就计算小于等于它的不是讨厌数的个数嘛. 于是考虑怎么算讨厌数的个数? 看到这个讨厌数说,不能是完全平方数的倍数,不难想到可以理解为将$x$质因数分解后不存在指数大于1的情况. 这时候自然而然能联想到莫比乌斯函数?因为根据定义有,只有质数大于1时等于0其他时候为$\pm 1$. 所以答案就$\sum (\mu(i))^2$.杜教筛就好(因为,我,不会杜教筛,所以一句话就带过去了$kk$,…

传送门 求第$k$个没有完全平方数因数的数 一开始是想筛一波莫比乌斯函数,然后发现时间复杂度要炸 于是老老实实看了题解 一个数的排名$k=x-\sum_{i=1}^{x}{(1-|\mu(i)|)}$ 因为$k$是不降的,所以我们可以考虑二分 那么如何计算区间$[1,x]$的无完全平方数因数的数的个数嘞? 我们可以考虑计算有平方因数的数的个数再减掉就可以了 那么这个可以用一个容斥计算,就是0个完全平方数因数的个数(即1的倍数)-1个完全平方数因数个数(即4,9,16...的倍数)+2个... 然…

题目:bzoj 2005 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005   洛谷 P1447 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447 首先,题意就是求 ∑(1 <= i <= n) ∑(1 <= j <= m) [ 2 * gcd(i,j) -1 ]: 方法1:容斥原理 枚举每个数作为 gcd 被算了几次: 对于 d ,算的次数 f[d] 就是 n/d 和 m/d 中互质的…

Description 求第k个没有完全平方因子的数,k<=1e9. Solution 这其实就是要求第k个µ[i](莫比乌斯函数)不为0的数. 然而k太大数组开不下来是吧,于是这么处理. 二分答案x,问题转化为求[1,x]间有多少个没有完全平方因子的数. 容斥,加上全部,减去一个质数的平方的倍数个数,加上两个质数乘积的平方的倍数个数... 然后发现,每个数的系数就是µ 这也说明了莫比乌斯的原理就是容斥,µ函数就是容斥系数 具体来说,对于每一个i<=sqrt(x),对于ans的贡献就是µ[i]…

公约数的和 传送门 分析 这道题很显然答案为 \[Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n (i,j)\] //其中\((i,j)\)意味\(gcd(i,j)\) 这样做起来很烦,看起来是\(O(N^2)\)的辣鸡复杂度,我们考虑这个问题的弱化版 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)\] 然后通过一些优美的容斥就可以算出原答案 现在我们设\[f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=d]\] 这个式子表示,在\(i=1…

题目描述 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k 输出格式: 共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 2 5 1 5 1 1 5 1 5 2 输出样例#1: 复制 14 3 说明 100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤500…

vjudge 题面传送门 首先我们知道斐波那契数列的 lcm 是不太容易计算的,但是它们的 gcd 非常容易计算--\(\gcd(f_x,f_y)=f_{\gcd(x,y)}\),该性质已在我的这篇博客中给出了详细证明,这里就不再赘述了. 考虑怎样将 LCM 转化为 gcd,注意到有个东西叫 Min-Max 容斥,即对于集合 \(S\),\(\max(S)=\sum\limits_{\varnothing\ne T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\),该性质同样可以…

题意 题目链接 Sol 首先若y % x不为0则答案为0 否则,问题可以转化为,有多少个数列满足和为y/x,且整个序列的gcd=1 考虑容斥,设\(g[i]\)表示满足和为\(i\)的序列的方案数,显然\(g[i] = 2^{i-1}\)(插板后每空位放不放) 同时还可以枚举一下gcd,设\(f[i]\)表示满足和为\(i\)且所有数的gcd为1的方案,\(g[i] = \sum_{d | i} f[\frac{n}{d}]\) 反演一下,\(f[i] = \sum_{d | i} \mu(d)…

洛谷题面传送门 一道究极恶心的毒瘤六合一题,式子推了我满满两面 A4 纸-- 首先我们可以将式子拆成: \[ans=\prod\limits_{i=1}^A\prod\limits_{j=1}^B\prod\limits_{k=1}^C(\dfrac{ij}{\gcd(i,j)\gcd(i,j)})^{f(type)} \] 也就是说我们需要算出以下四项式子的值: \[\prod\limits_{i=1}^A\prod\limits_{j=1}^B\prod\limits_{k=1}^Ci^{f…

原题链接 差不多算自己推出来的第一道题QwQ 题目大意 \(T\)组询问,每次问你\(1\leqslant x\leqslant N\),\(1\leqslant y\leqslant M\)中有多少\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)\in \mathbb{P}\) 数据范围 \(T=10000\),\(1\leqslant N,M\leqslant 10000000\) 显然,暴力不可做. 这种公约数计数的题貌似大多都是用莫比乌斯反演做的?套路啊,套路. 首先,我们先很套路地设一个函数…