传送门 看到\(gcd\)相关先推式子(默认\(N \leq M\)): \(\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^M (lcm(i,j))^{gcd(i,j)} & = \sum\limits_{d=1}^N d^d \sum\limits_{i=1}^\frac{N}{d} \sum\limits_{j=1}^\frac{M}{d} (ij)^{d} \sum\limits_{p \mid gcd(i,j)} \mu(p)…

题目描述 给定正整数n,m.求   输入 一行两个整数n,m. 输出 一个整数,为答案模1000000007后的值. 样例输入 5 4 样例输出 424 题解 莫比乌斯反演 (为了方便,以下公式默认$n\le m$) $\ \ \ \ \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)^{gcd(i,j)}\\=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)=d](\f…

推到了一个推不下去的形式,然后就不会了 ~ 看题解后傻了:我推的是对的,推不下去是因为不需要再推了. 复杂度看似很大,但其实是均摊 $O(n)$ 的,看来分析复杂度也是一个能力啊 ~ code: #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define N 500006 #define mod 1000000007 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) us…

[BZOJ3309]DZY Loves Math(莫比乌斯反演) 题面 求 \[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bf(gcd(a,b))\] 其中,\(f(x)\)表示\(x\)分解质因数之后,最高的幂次 题解 完全不会莫比乌斯反演了. 先来推式子 \[\sum_{d=1}^a\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}[gcd(i,j)=1]f(d)\] \[\sum_{d=1}^af(d)\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}[gc…

(14.10.28改) 本来只想写BZOJ3739:DZY Loves Math VIII的,不过因为和VI有关系,而且也没别人写过VI的题解,那么写下. 不过我还不会插公式…… http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3561 想想还是要把代码放一下的,不然可能一辈子都不会写了= = 为什么那么像FancyCoder写的呢……因为这题本来就是他教我哒……读入优化快速筛甚至快速幂的模板都是他的= = 额Mobius反演系列问题的入门也是看J…

一通正常的莫比乌斯反演后,我们只需要求出g(n)=Σf(d)*μ(n/d)的前缀和就好了. 考虑怎么求g(n).当然是打表啊.设n=∏piai,n/d=∏pibi .显然若存在bi>1则这个d没有贡献.考虑bi为0和1两种情况.如果只看ai最小的质因子的选取情况,会发现大部分情况下其是0还是1,对f的取值是没有影响的,但会使μ取反,于是就抵消为0.而特殊情况即为所有ai均相同,此时若所有bi都取1会使f减少.与一般情况比较可以得到此时g(n)=(-1)质因子个数+1. 然后就可以线性筛了.记录一…

OK!开始更新莫比乌斯反演 先看了一下数据范围,嗯,根据\(jiry\)老师的真言,我们一定是可以筛一遍然后用根号或者是\(log\)的算法. 题目思路挺简单,就是把原始的式子化成: \(\sum_{k = 1}^{min(a,b)}(a/k)(b/k) \sum_{d | k} f(d) * \mu (k / d)\) 由于莫反的函数是建立在积性上的,但是后面那个显然不是积性. 我们考虑把后面的式子代换一下:\(g(n) = \sum_{d|n}f(n/d) * \mu(d)\) 考虑\(\m…

原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8116330.html UPD(2018-03-26):回来重新学数论啦.之前的博客版面放在更新之后的后面. 题目传送门 - BZOJ3561 题意概括 给出$n,m$,求$\Large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)^{\gcd(i, j)}$. $1\leq n,m\leq 500000$ 题解 先推式子:(假设$n\leq m$) $$\sum_{i=1}^n\sum_{…

题目 给定正整数n,m.求 输入格式 一行两个整数n,m. 输出格式 一个整数,为答案模1000000007后的值. 输入样例 5 4 输出样例 424 提示 数据规模: 1<=n,m<=500000,共有3组数据. 题解 套路反演: \[ \begin{aligned} ans &= \sum\limits_{d = 1}^{n} \sum\limits_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum\limits_{j = 1}^{\lfloo…

\(x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_c^{\alpha_c}\) \(f(x)=\max(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_c)\) \(assume\ n\leq m\) \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))\) \(\sum_{x=1}^{n}f(x)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=x]\) \(\sum_{x=1}^{n}f(x)\su…

题目 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. 给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). 输入格式 第一行一个数T,表示询问数. 接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. 输出格式 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. 输入样例 4 7558588 9653114 6514903 4451211 742…

[BZOJ3561]DZY Loves Math VI (数论) 题面 BZOJ 题解 \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n[gcd(i,j)=d](\frac{ij}{d})^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1]i^dj^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{…

3561: DZY Loves Math VI Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 205  Solved: 141 Description 给定正整数n,m.求 Input 一行两个整数n,m. Output 一个整数,为答案模1000000007后的值. Sample Input 5 4 Sample Output 424 HINT 数据规模: 1<=n,m<=500000,共有3组数据. Source By Jcvb [分析]…

BZOJ 3561 DZY Loves Math VI 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\text{lcm}(i,j)^{\gcd(i,j)}\),钦定\(n\leq m\) \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\frac{ij}{{\gcd(i,j)}})^{\gcd(i,j)}\) 按套路,提出\(\gcd(i,j)\),枚举的\(i\),\(j\)都除\(g\) \(\sum_{g=1}^ng^g\sum_{i=1}^{n/g}\su…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3561 题解: 莫比乌斯反演 $$\begin{aligned}ANS&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)^{gcd(i,j)}\\&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{g}}g^gi^gj^g[gcd(i,j)==1]\\&=\sum_{g…

题意 求\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} lcm(i, j)^{gcd(i, j)}\)(\(n, m<=500000\)) 分析 很显然要死推莫比乌斯 题解 设\(n \le m\) \[ \begin{aligned} ans & = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} lcm(i, j)^{gcd(i, j)} \\ & = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (\frac{ij}{gcd(i, j)…

题目: 给定正整数n,m.求   题解: 水题有益身心健康.(博客园的辣鸡数学公式) 其实到这我想强上伯努利数,然后发现$n^2$的伯努利数,emmmmmm 发现这个式子可以算时间复杂度,emmmmm.积了个分发现时间复杂度很优秀啊(大概也就是$nlog$级别的). 所以直接算就好了. P.S.想卡卡常刷一个题榜rank1,emmmm发现自己没这个天赋. 代码: #define Troy #include "bits/stdc++.h" using namespace std; ,N=…

link 好久没写数学题了,再这样下去吃枣药丸啊. 找一套应该还比较有意思的数学题来做. [bzoj3309]DZY Loves Math 简单推一下. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\\=\sum_{d=1}^nf(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)\frac n{id}\frac m{id}\\=\sum_{T=1}^n\frac nT\frac mT\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac Td)\] 令\(h(T)=\su…

3561: DZY Loves Math VI Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 503  Solved: 333[Submit][Status][Discuss] Description 给定正整数n,m.求     Input 一行两个整数n,m. Output 一个整数,为答案模1000000007后的值. Sample Input 5 4 Sample Output 424 HINT 数据规模: 1<=n,m<=500000…

BZOJ 3309: DZY Loves Math I 题意 \(f(n)\) 为 \(n\) 幂指数的最大值. \[ \sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} f(\gcd(i, j)) \] \(T\le 10000, 1 \le a,b \le 10^7\) 题解 \[ \begin{aligned} ans &= \sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} f(\gcd(i, j)) \\ &= \sum_{d = 1}^{\min…

3309: DZY Loves Math Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. 给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数. 接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample In…

DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1303  Solved: 819[Submit][Status][Discuss] Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b).…

[BZOJ3309]DZY Loves Math Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数.接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample…

3309: DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 761  Solved: 401[Submit][Status][Discuss] Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1.…

3512: DZY Loves Math IV 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)\),\(n \le 10^5, m \le 10^9\) n较小,考虑写成前缀和的形式,计算\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \varphi(in)\) 一开始想出 \[ n= \prod_i p_i,\ \varphi(in) = \varphi(i) \cdot \varphi(\frac{n}{d})\cdot d,\ d=(n,i) \] 比较…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题解: 莫比乌斯反演,线筛 化一化式子: f(x)表示x的质因子分解中的最大幂指数 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))$ $\quad\quad=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\lfloo…

DZY Loves Math 对于正整数 $n$,定义 $f(n)$ 为 $n$ 所含质因子的最大幂指数. 例如 $f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0$ 给定正整数 $a,b$,求 $ \sum_{i=1..a} \sum_{j=1..b} {f(gcd(i,j))}$. Sol 根据莫比乌斯反演可以得出 $ \sum_{i=1..a} \sum_{j=1..b} {f(gcd(i,j))}$ =$\sum_{d} g[d]  \lf…

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\] 其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\). 题解 这个数据范围很有意思. \(n\)的值足够小,所以我们可以直接暴力枚举\(n\). 那么所求: \[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\] 考虑如何将\(\varphi\)给拆开,因为\(\varphi\)只有每个质因子第一次出现的时候才会特殊计算…

[BZOJ3309]DZY Loves Math Description 对于正整数\(n\),定义\(f(n)\)为\(n\)所含质因子的最大幂指数.例如\(f(1960)=f(2^3×5^1×7^2)=3\),\(f(10007)=1\),\(f(1)=0\). 给定正整数\(a,b\),求\(\sum\limits_{a_i=1}\sum\limits_{b_j=1}f(\gcd(i,j))\). Input 第一行一个数\(T\),表示询问数. 接下来\(T\)行,每行两个数\(a,b\…

3560: DZY Loves Math V Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 241  Solved: 133 Description 给定n个正整数a1,a2,…,an,求 的值(答案模10^9+7). Input 第一行一个正整数n. 接下来n行,每行一个正整数,分别为a1,a2,…,an. Output 仅一行答案. Sample Input 3 6 10 15 Sample Output 1595 HINT 1<=n<=1…