1. 例题引入:BZOJ3551 用一道例题引入:BZOJ3551 题目大意:有 \(N\) 座山峰,每座山峰有他的高度 \(h_i\).有些山峰之间有双向道路相连,共 \(M\) 条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走,现在有 \(Q\) 组询问,每组询问询问从点 \(v\) 开始只经过困难值小于等于 \(x\) 的路径所能到达的山峰中第 \(k\) 高的山峰的高度,如果无解输出 \(-1\).强制在线. 这道题的离线做法可以是线段树合并,可以参照我之前写过的一篇文章,里面有提到:…

网上感觉没有什么很详细 + 证明的讲解啊) 前置:Kruskal 求最小生成树. 这个算法可以将一棵树 / 无向连通图重构成一颗有性质的新树. 算法可以解决一些树上瓶颈边权之类的问题,可以把需要持久化的并查集给代替掉. 设 \(f_i\) 为 \(i\) 所在联通块的根. 算法流程和 Kruskal 最小生成树的过程非常类似: 将所有边按边权从小到大排序 顺序遍历每条边 \((u, v, w)\),若 \(u, v\) 已经联通跳过,否则建立一个新点 \(x\),让 \(x\) 作为 \(f_u…

\(kruskal\) 重构树学习笔记 前言 \(8102IONCC\) 中考到了,本蒟蒻不会,所以学一下. 前置知识 \(kruskal​\) 求最小(大)生成树,树上求 \(lca​\). 算法详解 \(kruskal\) 重构树可以解决瓶颈路问题(如:\(noip2013\) \(d1t3\) 货车运输,可以当做模板题来做,本文中也将此题作为例题): 我们来思考一下 \(kruskal\) 求最小(大)生成树的过程(后文中以最大生成树为例),大致过程可以概述为:将图中所有边从大到小排序,枚…

今天学了Kruskal重构树,似乎很有意思的样子~ 先看题面: BZOJ 题目大意:$n$ 个点 $m$ 条无向边的图,$k$ 个询问,每次询问从 $u$ 到 $v$ 的所有路径中,最长的边的最小值. $1\leq n\leq 15000,1\leq m\leq 30000,1\leq k\leq 20000$. 我相信你们看见这题的想法和我一样: 货车运输!最小生成树上LCA一下就行了!时间复杂度 $O(m\log m+n\log n+k\log n)$.(这里LCA用倍增.树链剖分复杂度是多…

Kruskal 重构树 [您有新的未分配科技点][BZOJ3545&BZOJ3551]克鲁斯卡尔重构树 kruskal是一个性质优秀的算法 加入的边是越来越劣的 科学家们借这个特点尝试搞一点事情. kruskal求最小生成树的过程,如果把加入的一个边新建一个节点的话,并且把k1,k2的father设为新点的话,会得到一个2*n大小的树 实际上已经非常明白地表示kruskal这个过程了.这个树叫kruskal重构树 每个点的权值定义为所代表的边的权值.叶子节点权值最优. 由于贪心,所以树上所有点,…

kruskal重构树是一个比较冷门的数据结构. 其实可以看做一种最小生成树的表现形式. 在普通的kruskal中,如果一条边连接了在2个不同集合中的点的话,我们将合并这2个点所在集合. 而在kruskal重构树中,如果一条边连接了在2个不同集合中的点,我们将新建一个节点出来,并用这个新节点作为一个中转连接这2个集合. 如图就是一棵kruskal重构树,方点表示新建出的节点,圆点是原图中的点,方点点权即边权. 这样建出的树会有一些美妙的性质,例如往上走点权是递增的,原图中的每个点都是叶子节点等.…

[算法模板]Kruskal重构树 kruskal重构树是一个很常用的图论算法.主要用于解决u->v所有路径上最长边的最小值,就是找到\(u->v\)的一条路径,使路径上的最长边最小. 图片来自Kruskal重构树学习笔记+BZOJ3732 Network 从上图我们可以看出,kruskal重构树有以下特质: 每个原图上的节点一一对应重构树上的叶子节点. 重构树上每一个其他节点(正方形)代表原图上的一个边,有点权. 重构树是一棵二叉树. 重构树是一个二叉堆.(所以两个叶子节点的LCA即为路径上的…

题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P4197 题目: 在Bytemountains有N座山峰,每座山峰有他的高度$h_i$.有些山峰之间有双向道路相连,共M条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走 现在有Q组询问,每组询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰,如果无解输出-1. 在线做法题解: 一句话题解:kruskal重构树dfs序上建主席树直接查询第k大即可 知识点拓展: 下面讲讲kruskal重构…

3732: Network Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2812  Solved: 1363[Submit][Status][Discuss] Description 给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000),记为:1…N. 图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ,第j条边的长度为: d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000). 现在有 K个询问…

题面在这里就不放了. 同步赛在做这个题的时候,心里有点纠结,很容易想到离线的做法,将边和询问一起按水位线排序,模拟水位下降,维护当前的各个联通块中距离$1$最近的距离,每次遇到询问时输出所在联通块的信息. 离线的思路对满分做法有一定的启发性,很容易想到将并查集持久化一下就能支持在线了. 但是这个是两个$log$的,有卡常的风险也不是很方便写. 当时思考了一下就快速写完离线做法就去做其他题了. 对于这道题,有一个更好的做法:Kruskal重构树. 事实上如果你了解这个东西,那你就能很快的给出解,那…