解决涉及子集配凑的卷积问题 一.介绍 1.基本用法 FWT快速沃尔什变换学习笔记 就是解决一类问题: $f[k]=\sum_{i\oplus j=k}a[i]*b[j]$ 基本思想和FFT类似. 首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$ 使得:$FWT(A\oplus B)=FWT(A)×FWT(B)$ 这里,$×$是按位乘.这个是$O(n)$的. 然后,再$IFWT$回去即可. 类似于,直接过马路不好走.先从左边走上一座天桥,再从天桥走过去,再到马路右侧走下天桥. 就变成了$O(…

\(FWT\)--快速沃尔什变化学习笔记 知识点 \(FWT\)就是求两个多项式的位运算卷积.类比\(FFT\),\(FFT\)大多数求的卷积形式为\(c_n=\sum\limits_{i+j=n}a_i*b_j\)的形式.而\(FWT\)则求的卷积形式为\(c_n=\sum\limits_{i\oplus j=n}\),如何做这个玩意呢,我们还是考虑分治.把它分成两个部分,一个部分是\(A_0\),一部分是\(A_1\),分别表示的是最高位为\(0/1\),然后对于与卷积来说\(f(A)=(f…

1.图片设置(平移,缩放,旋转) 创建一个transform属性 //按钮点击时,只能执行一次向上旋转 //派 M_PI_4 45度旋转 . CGAffineTransform transforms= CGAffineTransformMakeRotation(M_PI_4); //按钮点击时,可多次执行缩放 //self.image.transfrom 获取原始位置 image是图片定义的属性名称 . CGAffineTransform transforms = CGAffineTransfo…

transform转换 CSS transform 属于2D/3D上的转换.变形效果.他不是一个动画,他就是变形.比如正方形变平行四边形,再变圆形.都是形状变成另一个形状. 但是如果配合上transition/animation,他就会从一个形状变成另一形状.只要有一段时间内的过渡效果,就形成了动画. 主要功能有:拉伸变形.倾斜.位移.缩放.旋转. 原理是:改变元素的尺寸.形状.角度.位置等 js写法: object.style.transform="rotate(7deg)"; tr…

前言 快速傅里叶变换(\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) )是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法,在\(OI\)中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍\(\text{FFT}\). 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式 形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式.其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数. 系数…

一个数学不好的菜鸡的快速沃尔什变换(FWT)学习笔记 曾经某个下午我以为我会了FWT,结果现在一丁点也想不起来了--看来"学"完新东西不经常做题不写博客,就白学了 = = 我没啥智商 ,网上的FWT博客我大多看不懂,下面这篇博客是留给我我再次忘记FWT时看的,所以像我一样的没智商选手应该也能看懂!有智商选手更能看懂咯! (写得非常匆忙,如有任何错误请在评论区指正!TAT) 什么是FWT FWT是用来快速做位运算卷积的.位运算卷积是什么?给出两个数组\(A\)和\(B\)(长度相等且是2…

FWT快速沃尔什变换学习笔记 1.FWT用来干啥啊 回忆一下多项式的卷积\(C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j\) 我们可以用\(FFT\)来做. 甚至在一些特殊情况下,我们\(C_k=\sum_{i*j=k}A_i*B_j\)也能做(SDOI2015 序列统计). 但是,如果我们把操作符换一下呢? 比如这样? \(C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\wedge j=k}A_i*B_…

目录 信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换 卷积 卷积性变换 傅里叶变换与信号 引入: 信号分析 变换的基础: 复数 傅里叶变换 离散傅里叶变换 FFT 与多项式 \(n\) 次单位复根 消去引理, 折半引理与求和引理 重新定义 多项式的表示 快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现 炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 \(\text{or}\) 卷积 FWT 与 \(\te…

FWT学习笔记 引入 一般的多项式乘法是这样子的: \(c_i=\sum_{i,j}a_j*b_k*[j+k==i]\) 但是如果我们将这个乘法式子里面的+号变换一下变成其他的运算符号呢? \(c_i=\sum_{i,j}a_j*b_k*[j\oplus k==i]\) 其中\(\oplus\)可以取\(and,or,xor\) 这个时候FFT和NTT就没有什么用了... 前人的智慧是无穷的! 考虑一个神奇的算法:FWT(快速沃尔什变化) or卷积 先从最容易的or卷积下手. 我们考虑他给出的式…

FWT学习笔记 好久以前写的,先粘上来 定义数组 \(n=2^k\) \(A=[a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_{n-1}]\) 令\(A_0=[a_0,a_1,a_2,...,a_{\frac n 2-1}]\) 且\(A_1=[a_{\frac n 2},a_{\frac n 2+1},..,a_{n-1}]\) 即\(A_0\)为没有最高位的部分,\(A_1\)为有二进制最高位的部分 \(A\)可以用\(A=\{A_0,A_1\}\)表示 定义运算 \(A+B=[a_0+b_0…