[题目分析] 裸题直接做. 一个长度为n,颜色为m的环,本质不同的染色方案是多少. 数据范围比较小,直接做就好了. [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long #define F(i,j,k) for (int i=j;i<=k;++i) int g…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意:给出一个长度为m的项链,每个珠子可以用n种颜色涂色.翻转和旋转后相同的算作一种.有多少种不同的项链? 思路: (1) 对于Burnside引理,G为所有置换集合,|G|为所有置换个数,gi为第i种置换,D(gi)为在第i种置换下保持不动的元素个数. 对于Polay定理,G为所有置换集合,|G|为所有置换个数,gi为第i种置换,n为颜色的种类,c(gi)为第i种置换的循环节个数. (2)对于Polay,一般解题步骤:确定…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意: 有一串n个珠子穿起来的项链,你有k种颜色来给每一个珠子染色. 问你染色后有多少种不同的项链. 注:“不同”的概念是指无论怎样旋转或翻转项链,都与之前的不同. 题解: 本题用到了置换的相关知识: (1)Burnside引理: 等价类数目 = 所有C(f)的平均值 (C(f)为置换f的不动点数目) (2)置换f可以分解成m(f)个循环的乘积,假设涂k种颜色: C(f) = k^m(f) (3)Polya定理:(综上) 等…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 关于置换群:https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/6883880.html https://files-cdn.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf 原来 burnside 引理中的“不动点”是指一种不变化的方案啊: 这道题就用 burnside 引理,但给出的 m 个置换还不是置换群,需要再加一个…

Magic Bracelet Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 131072K Total Submissions: 3731   Accepted: 1227 Description Ginny’s birthday is coming soon. Harry Potter is preparing a birthday present for his new girlfriend. The present is a magic bracelet which…

三道burnside入门题: Burnside定理主要理解置换群置换后每种不动点的个数,然后n种不动点的染色数总和/n为answer. 对于旋转,旋转i个时不动点为gcd(n,i). 传送门:poj 2409 #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <queue> #include <cstdlib> #de…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 http://poj.org/problem?id=2409 学习材料:https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/6883880.html https://files-cdn.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf bzoj 1004:这道题注意考虑单位元的那个置换. 然后用 polya 定理即可.不动点…

http://poj.org/problem?id=1286 题意:有红.绿.蓝三种颜色的n个珠子.要把它们构成一个项链,问有多少种不同的方法.旋转和翻转后同样的属于同一种方法. polya计数. 搜了一篇论文Pólya原理及其应用看了看polya究竟是什么东东.它主要计算所有互异的组合的个数.对置换群还是似懂略懂.用polya定理解决这个问题的关键是找出置换群的个数及哪些置换群,每种置换的循环节数.像这样的不同颜色的珠子构成项链的问题能够把N个珠子看成正N边形. Polya定理:(1)设G是p…

链接:http://poj.org/problem?id=1286 http://poj.org/problem?id=2409 #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; LL P_M( LL a, LL b ) {…

两种置换 旋转:有n种,分别是旋转1个2个--n个,旋转i的循环节数位gcd(i,n) 翻转:分奇偶,对于奇数个,只有一个珠子对一条边的中点,循环节数为n/2+1:对于偶数个,有珠子对珠子和边对边,循环节个数为n/2+1个和n/2个 然后用polya定理即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,k,ans; long long ksm(long long a,long long b…

题目传送:http://poj.org/problem?id=2409 Description "Let it Bead" company is located upstairs at 700 Cannery Row in Monterey, CA. As you can deduce from the company name, their business is beads. Their PR department found out that customers are inte…

题目:http://poj.org/problem?id=2409 题意:用k种不同的颜色给长度为n的项链染色 网上大神的题解: 1.旋转置换:一个有n个旋转置换,依次为旋转0,1,2,```n-1.对每一个旋转置换,它循环分解之后得到的循环因子个数为gcd(n,i). 2.翻转置换:分奇偶讨论. 奇数的时候 翻转轴 = (顶点+对边终点的连线),一共有n个顶点,故有n个置换,且每个置换分解之后的因子个数为n/2+1; 偶数的时候 翻转轴 = (顶点+顶点的连线),一共有n个顶点,故有n/2个置…

题目地址: http://poj.org/problem?id=2409 给你一串珠子有m个,用n种不同的颜色涂色,问有多少种分法. 用polay定理求解,对于排成一排的带编号的小球,按照某一种方案改变其中一些球的放置顺序,可以称之为置换.每一种置换方法可以用两排数字來表示,第一排数字和第二排数字一一对应,第一排数字表示小球的原来位置(1-n),第二排数字表示小球交换后的位置.现在我们有n个小球,m种颜色.有k种置换方法,我们认为能通过置换方法交换位置后变成同一种染色情况(颜色的排列状况相同,忽…

点我看题目 题意 :给你c种颜色的n个珠子,问你可以组成多少种形式. 思路 :polya定理的应用,与1286差不多一样,代码一改就可以交....POJ 1286题解 #include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <math.h> #include <algorithm> using namespace std; int gcd(int a,int b) {…

Let it Bead 大意:给你m种颜色,n个珠子串起来.旋转跟反转同样算同样,问有多少种不同的涂色组合方式. 思路:Polya的简单应用. /************************************************************************* > File Name: POJ2409.cpp > Author: GLSilence > Created Time: 2014年07月29日 星期二 22时56分58秒 ************…

题意:一个长度为n的项链,m种颜色染色每个珠子.一些限制给出有些颜色珠子不能相邻.旋转后相同视为相同.有多少种不同的项链? 思路:这题有点综合,首先,我们对于每个n的因数i,都考虑这个因数i下的不变置换个数,然后乘以(n/i)的欧拉函数加到ans上面,然后再让ans乘以n在模p下的逆元.至于怎么求因数i下的不变置换个数,相信大家都做过没有限制的,至于有限制的,大家可以考虑一下这样:初始数组a[m][m]都为1,对于每个限制x,y,都令a[x][y]=a[y][x]=0,我们有一个数列:b1,b2…

传送门 题意:$m$种颜色$n$颗珠子,定义旋转和翻转两种置换,求不等价着色数 暴力求每个置换的循环节也许会$T?$ 我们可以发现一些规律: 翻转: $n$为奇数时每个置换有$1+\frac{n-1}{2}$个循环 $n$为偶数时穿过边的对称有$\frac{n}{2}$个循环,穿过点的有$\frac{n}{2}+1$个循环 旋转: 旋转$i$次的置换的循环个数为$gcd(n,i)$ 可以这样想,从一个点开始每次走$i$步最后走到原位的最少步数$a$就是一个循环的长度 $ ai \equiv \p…

<题目链接> 题目大意:用k种颜色对n个珠子构成的环上色,旋转.翻转后相同的只算一种,求不等价的着色方案数. 解题分析: 对于这种等价计数问题,可以用polay定理来解决,本题是一道polay定理的模板题. 具体polay定理的实现步骤如下(选自算法入门经典训练指南  147页): #include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; typedef long long LL; int n, m; int g…

思路 同这道题,只是颜色数从3变成c 代码 #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #define int long long using namespace std; int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } int pow(int a,int b){ int ans=1; while(b){ if(b&1) ans=(an…

题意 用k种颜色对n个珠子构成的环上色,旋转翻转后相同的只算一种,求不等价的着色方案数. 思路 Polya定理 X是对象集合{1, 2, --, n}, 设G是X上的置换群,用M种颜色染N种对象,则不同的染色方案数为: λ(g)表示置换g的轮换个数,且λ(g) = λ1(g) + λn(g) + -- + λn(g),其中λi(g)表示g中长度为i的轮换(循环)个数. 本题是对一个n个珠子的圆珠的颜色,而圆珠的置换群有: Ⅰ翻转:1.当n为奇数时,有n种翻转,每种翻转的轴都是一个顶点和该顶点对边…

参考:https://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38108871 #include <iostream> #include <string.h> using namespace std; int c,n;//c种颜色,n个珠子 int ans; int gcd(int a,int b) { ?a:gcd(b,a%b); } int power(int p,int n)//快速幂求公式里的k的nc(g)次方 { ; while…

旋转能够分为n种置换,相应的循环个数各自是gcd(n,i),个i=0时不动,有n个 翻转分为奇偶讨论,奇数时有n种置换,每种有n/2+1个 偶数时有n种置换,一半是n/2+1个,一半是n/2个 啃论文,PPT,各种书好久才看懂Polya定理,近期做数学题做的严重怀疑自己的智商. #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include<algorithm> #include<ma…

#Burnside引理与polay定理 引入概念 1.置换 简单来说就是最元素进行重排列 是所有元素的异议映射,即\([1,n]\)映射到\([1,n]\) \[ \begin{pmatrix} 1&2&i \ldots n \\ a_{1} & a_{2}&a_{i} \ldots a_{n} \end{pmatrix}\] 比如,把正方体绕中心旋转90度,可以看做四个顶点的一个置换 (1)置换可以构成换:对于元素连一条有向边,连到置换中映射的元素,会构成n个环,(循环)…

http://poj.org/problem?id=2409 Burnside引理:设\(G\)是\(X\)的置换群,而\(\mathcal{C}\)是\(X\)中一个满足下面条件的着色集合:对于\(G\)中所有的\(f\)和\(\mathcal{C}\)中所有的\(\mathbf{c}\)都有\(f*\mathbf{c}\)仍在\(\mathcal{C}\)中,则\(\mathcal{C}\)中非等价着色数\(N(G,\mathcal{C})\)由下式给出:\[N(G,\mathcal{C})…

Color Description Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). Your job is to calculate how many different kinds of the necklace can be produced. You should know that the necklace might not use up all…

[题目分析] 同样是Burnside引理.但是有几种颜色是不能放在一起的. 所以DP就好了. 然后T掉 所以矩阵乘法就好了. 然后T掉 所以取模取的少一些,矩阵乘法里的取模尤其要注意,就可以了. A掉 [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) for (int…

和poj 2409差不多,就是k变成3了,详见 还有不一样的地方是记得特判n==0的情况不然会RE #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,ans; long long ksm(long long a,long long b) { long long r=1; while(b) { if(b&1) r=r*a; a=a*a; b>>=1; } return r; }…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

Problem 起源: SGU 294 He's Circle 遗憾的是,被吃了. Poj有道类似的: Mission 一个长度为n(1≤n≤24)的环由0,1,2组成,求有多少本质不同的环. 实际上,如果使用高精度,那么n可以到1e6级别 群 定义 一个集合G,以及一个二元运算∗. 并且满足: 封闭性 如果a∈G,b∈G,那么a∗b∈G 结合律 如果a∈G,b∈G,c∈G,那么a∗b∗c=a∗(b∗c) 存在单位元 存在c∈G,使得b∗c=c∗b=c 那么c就称为G的单位元. 类似于加法运算中…

题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 分析: 1.确定方向:肯定是组合数学问题,不是Polya就是Burnside,然后题目上说每种颜色的个数都是一定的,所以肯定是Burnside了 2.确定置换群:首先输入的那么多肯定是每个都是一个置换,那么要不要对每个叠加呢?不用的,因为题目上说“输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态”.所以对于读入的所有就是整个置换…