优化问题: 其中, 定义:对于一个不等式约束,如果,那么称不等式约束是处起作用的约束. 定义:设满足,设为起作用不等式约束的下标集: 如果向量:是线性无关的,则称是一个正则点. 下面给出某个点是局部极小点的一阶必要条件(即如果是极小点,那么必然满足下列条件),称为KKT条件: 设,设是的一个正则点和局部极小点,使得以下条件成立: 为拉格朗日乘子向量,为KKT乘子向量.…

[整理]   在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法.在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件. 我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题).提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子.对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象.二者均是求解最优化…

在求取有约束条件的优化问题时,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法,对于等式约束的优化问题,可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值:如果含有不等式约束,可以应用KKT条件去求取.当然,这两个方法求得的结果只是必要条件,只有当是凸函数的情况下,才能保证是充分必要条件.KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化.之前学习的时候,只知道直接应用两个方法,但是却不知道为什么拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用,为什么…

在求取有约束条件的优化问题时,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法,对于等式约束的优化问题,可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值:如果含有不等式约束,可以应用KKT条件去求取.当然,这两个方法求得的结果只是必要条件,只有当是凸函数的情况下,才能保证是充分必要条件.KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化.之前学习的时候,只知道直接应用两个方法,但是却不知道为什么拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用,为什么…

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整理自其他优秀博文及自己理解. 目录 无约束优化 等式约束 不等式约束(KKT条件) 1.无约束优化 无约束优化问题即高数下册中的 “多元函数的极值"  部分. 驻点:所有偏导数皆为0的点: 极值点:在邻域内最大或最小的点: 最值点:在定义域内最大或最小的点: 关系: 驻点不一定是极值点,极值点一定是驻点: 极值点不一定是最值点,最值点一定是极值点: 求解最值: 求出所有的极值点,将所有的极值点带入函数中,最大或最小的那个就是最值点. 2.等式约束 等式约束问题即高数下册中的 “条件极值  拉格…

引言 本篇文章将详解带有约束条件的最优化问题,约束条件分为等式约束与不等式约束,对于等式约束的优化问题,可以直接应用拉格朗日乘子法去求取最优值:对于含有不等式约束的优化问题,可以转化为在满足 KKT 约束条件下应用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日求得的并不一定是最优解,只有在凸优化的情况下,才能保证得到的是最优解,所以本文称拉格朗日乘子法得到的为可行解,其实就是局部极小值,接下来从无约束优化开始一一讲解. 无约束优化 首先考虑一个不带任何约束的优化问题,对于变量 $ x \in \mathbb{R}…

拉格朗日乘子法:对于等式约束的优化问题,求取最优值. KKT条件:对于含有不等式约束的优化问题,求取最优值. 最优化问题分类: (1)无约束优化问题: 常常使用Fermat定理,即求取的导数,然后令其为零,可求得候选最优值. (2)有等式约束的优化问题:, 使用拉格朗日乘子法,把等式约束用一个系数与写为一个式子,称为拉格朗日函数.再通过对各个参数求取导数,联立等式进行求取最优值. (3)有不等式约束的优化问题.,,. 把所有的不等式约束.等式约束和目标函数全部写为一个式子:. KKT条件的最优值…

目录 1 将有约束问题转化为无约束问题 1.1 拉格朗日法 1.1.1 KKT条件 1.1.2 拉格朗日法更新方程 1.1.3 凸优化问题下的拉格朗日法 1.2 罚函数法 2 对梯度算法进行修改,使其运用在有约束条件下 2.1 投影法 2.1.1 梯度下降法 to 投影梯度法 2.1.2 正交投影算子 References 相关博客 梯度下降法.最速下降法.牛顿法等迭代求解方法,都是在无约束的条件下使用的,而在有约束的问题中,直接使用这些梯度方法会有问题,如更新后的值不满足约束条件. 那么问题来…