我的FMT是在VFleaKing的论文中学到的.51Nod的评测机好恶心. 题目分析: 题目很明显是要你求一个类似卷积的式子.但是我们可以注意到前面具有组合数,如果拆成阶乘会很大,在模意义下你无法判断奇偶性.另辟蹊径,可以采用Lucas定理分析. 观察组合数的奇偶性,就会发现$\binom{n}{k} % 2 == 0$的充要条件是在模$2$意义下不存在$\binom{0}{1}$.这意味着$\binom{0}{0} \binom{1}{1} \binom{1}{0}$都是可以接受的.换句话说$…

记录dalao的位运算骚操作 根据百度百科 ,生命游戏,简称为生命,是英国数学家约翰·何顿·康威在 1970 年发明的细胞自动机. 给定一个包含 m × n 个格子的面板,每一个格子都可以看成是一个细胞.每个细胞都具有一个初始状态:1 即为活细胞(live),或 0 即为死细胞(dead).每个细胞与其八个相邻位置(水平,垂直,对角线)的细胞都遵循以下四条生存定律: 如果活细胞周围八个位置的活细胞数少于两个,则该位置活细胞死亡: 如果活细胞周围八个位置有两个或三个活细胞,则该位置活细胞仍然存活:…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1647 题意: 在一个n*m(1 <= n,m <= 15)的棋盘上,每一个格子里都有一个可以翻转的棋子. 棋子的一面是黑色,一面是白色. 若翻转一个棋子,则它周围的四个棋子也会被翻转. 问你最少需要多少次翻转,使所有的棋子都变成白面向上. 如果可以做到,输出字典序最小的结果(将结果当成字符串处理).如果不能做到,输出“IMPOSSIBLE”. 题解: 首先有一个结论: 如果第i-1行第…

卢卡斯定理是一个与组合数有关的数论定理,在算法竞赛中用于求组合数对某质数的模. 第一部分是博主的个人理解,第二部分为 Pecco 学长的介绍 第一部分 一般情况下,我们计算大组合数取模问题是用递推公式进行计算的: \[C_n^m=(C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}) mod\ p \] 其中p相对较小的素数.但是当n和m过大时,计算的耗费就急剧增加\(O(mn)\),在实践中不适用.当这时候就需要Lucas定理进行快速运算: \[C_n^m=\prod_{i=0}^{k}C_{n_…

翻转游戏(flip) [问题描述] 翻转游戏是在一个 4 格×4 格的长方形上进行的,在长方形的 16 个格上每 个格子都放着一个双面的物件.每个物件的两个面,一面是白色,另一面是黑色, 每个物件要么白色朝上,要么黑色朝上,每一轮你只能翻 3 至 5 个物件,从而由 黑到白的改变这些物件上面的颜色,反之亦然.每一轮被选择翻转的物件遵循以 下规则: 1.从 16 个物件中任选一个. 2.翻转所选择的物件的同时,所有与它相邻的左方物件.右方物件.上方物件 和下方物件(如果有的话),都要跟着翻转. 以…

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 异或卷积概念及性质@ @2 - 快速沃尔什正变换(异或)@ @3 - 快速沃尔什逆变换(异或)@ @4 - 与卷积.或卷积@ @5 - 参考代码实现@ @6 - 关于 FMT(快速莫比乌斯变换)@ @7 - 例题与应用@ @dp 优化@ @子集卷积@ @卷积逆运算@ @0 - 参考资料@ yyb 的讲解(FWT) popoqqq 的讲解(FWT) zjp 的讲解(FMT) Dance-Of-Faith 的讲解(FMT) @1 - 异或卷积概念及性质@ 现在已…

题目链接:https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1069 有N堆石子.A B两个人轮流拿,A先拿.每次只能从一堆中取若干个,可将一堆全取走,但不可不取,拿到最后1颗石子的人获胜.假设A B都非常聪明,拿石子的过程中不会出现失误.给出N及每堆石子的数量,问最后谁能赢得比赛. 例如:3堆石子,每堆1颗.A拿1颗,B拿1颗,此时还剩1堆,所以A可以拿到最后1颗石子.   Input 第1行:一个数N,表示有N堆石子…

点此看题面 大致题意: 给你\(n\)个\(m\)位二进制数.每组询问给你一个\(m\)位二进制数,要求你从\(0\)开始,依次对于这\(n\)个数进行\(and\)或\(or\)操作,问有多少种方案能够得到给你的这个二进制数. 找规律 不难想到去对每一位分别讨论. 则根据位运算法则可得: 当你把某一位的数\(and\ 0\),就相当于把这一位数赋值为\(0\). 当你把某一位的数\(or\ 1\),就相当于把这一位数赋值为\(1\). 当你把某一位的数\(and\ 1\)或者\(or\ 0\)…

组合数取模就是求的值,根据,和的取值范围不同,采取的方法也不一样. 下面,我们来看常见的两种取值情况(m.n在64位整数型范围内) (1)  , 此时较简单,在O(n2)可承受的情况下组合数的计算可以直接用杨辉三角递推,边做加法边取模. (2) ,   ,并且是素数 本文针对该取值范围较大又不太大的情况(2)进行讨论. 这个问题可以使用Lucas定理,定理描述: 其中 这样将组合数的求解分解为小问题的乘积,下面考虑计算C(ni, mi) %p. 已知C(n, m) mod p = n!/(m!(…

额,前两天刚讲了数据结构,今天我来讲讲组合数学中的一种奇妙优化——Lucas 先看这样一个东西 没学过lucas的肯定会说:还不简单?处理逆元,边乘边膜呗 是,可以,但注意一下数据范围 你算这一次,你需要跑25000下 那么你如果求C199999 1~C199999 52222 呢? 你会发现你的复杂度上天了 所以我们会用到一个神奇的定理:Lucas定理 定理内容如下: Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 不好玩,是吗? 那么我来证明一下 由二项式定…

(From:离殇灬孤狼) 这个Lucas定理是解决组合数的时候用的,当然是比较大的组合数了.比如C(1000000,50000)% mod,这个mod肯定是要取的,要不算出来真的是天文数字了. 对于一个组合数C(n,k),它等于 n! / ( k! * ( n - k)! ) 我们要求一个mod.但是我们知道的同余定理是在 + - * 这三个运算中使用的,对于除法我们不能轻易的使用同余定理.如果我们能把除数(分母)转化为一个乘法就好了,这个时候我们就用到了逆元的知识: 这就开始说逆元了: 定义:…

引入: 组合数C(m,n)表示在m个不同的元素中取出n个元素(不要求有序),产生的方案数.定义式:C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!)(并不会使用LaTex QAQ). 根据题目中对组合数的需要,有不同的计算方法. (1)在模k的意义下求出C(i,j)(1≤j≤i≤n)共n2 (数量级)个组合数: 运用一个数学上的组合恒等式(OI中称之为杨辉三角):C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n). 证明: 1.直接将组合数化为定义式暴力通分再合并.过程略. 2.运用组合数的含义:设m…

E&D 染色游戏 Moving Pebbles E&D 题目大意 给出 \(2n\) 堆石子,\(2i-1\) 和 \(2i\) 为一组.每次可以选择一组删掉其中一堆,然后从同一组另外一堆选出若干石子放入被删掉的堆内,需要保证每个时刻每堆石子大小 \(\ge 1\).不能操作的人就算输.问先手是否有必胜策略. \(n\le 10^4\) 思路 首先我们发现我们肯定是对一组找出 sg 值,然后异或起来,于是问题就是如何求出 \(sg(x,y)\),然后我们打表之后发现: 然后你通过 oies…

大致意思就是求组合数C(n , m) % p的值, p为一个偶数 可以将组合数的n 和 m都理解为 p 进制的表示 n  = ak*p^k + a(k-1)*p^(k-1) + ... + a1*p + a0 m = bk*p^k + b(k-1)*p^(k-1) + ... + b1*p + b0 然后C(n,m)%p = C(ak , bk) * C(a(k-1) , b(k-1)) * ... * C(a1 , b1) * C(a0 , b0) % p 当然这其中出现 ai < bi的情况…

Lucas定理:用于计算组合数模除素数后的值,其实就是把(n,m)分别表示为p进制,累乘各位的可能取的个数,得到最终的结果: 推论:(n & m) == m则C(n,m)为奇数:即C(n,m) %2 = 1,即m二进制的每一位n都必须为1,所以n & m = m; 应用: Xiao Ming's Hope 题意:问C(n,0),C(n,1)...C(n,n)中有多少个为奇数?(1 <= n <= 1e8) ACM_cxlove的证明 思路:用朴素的n & m == m来…

1902: Zju2116 Christopher Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 172  Solved: 67[Submit][Status][Discuss] Description 给定n个元素,要从中间选择m个元素有多少种方案呢?答案很简单,就是C(n,m).如果一个整数m(0≤m≤n),C(n,m)是某一个质数p的倍数,那么这个m就是讨厌的数字,现在给定了p和n,求有多少个讨厌的数字. Input 第一行是一个正整数n,(1…

A Corrupt Mayor's Performance Art Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 100000/100000 K (Java/Others) Total Submission(s): 1905    Accepted Submission(s): 668 Problem Description Corrupt governors always find ways to get dirty money…

题目链接:http://acm.swust.edu.cn/problem/0247/ Time limit(ms): 1000 Memory limit(kb): 65535   Description 在很久很久以前,有个臭美国王.一天,他得到了一件新衣,于是决定巡城看看老百姓的反应(囧).于是他命令可怜的宰相数一下他有多少种巡城方案. 城市是一个N*M的矩形,(N+1)*(M+1)条街把城市分成了N*M块.国王从左下角出发,每次只能向右或向上走,右上角是终点. 请你帮帮可怜的宰相.   In…

题意: 给出4*4的棋盘,只有黑棋和白棋,问你最少几步可以使棋子的颜色一样. 游戏规则是:如果翻动一个棋子,则该棋子上下左右的棋子也会翻一面,棋子正反面颜色相反. 思路: 都是暴搜枚举. 第一种方法:暴力dfs枚举 棋子只有最多翻一次,因为翻两次后结果和不翻是一样的,所以整个棋盘最多翻16次. 用step代表翻转的次数,当翻转了step次时,就看一下整个棋盘是否是清一色的.   当棋盘是清一色的时候就直接输出step,得到的就是最少翻转次数使棋盘清一色. 第二种方法:利用位运算来优化 因为棋子不…

这种题面真是够了......@小明 题意:the number of odd numbers of C(n,0),C(n,1),C(n,2)...C(n,n). 奇数...就是mod 2=1啊 用Lucas定理,2的幂,就是二进制啊 ${1\choose 1}={1\choose 0}={0\choose 0}=1 \quad {0\choose 1}=0$ 只要二进制有1位n是0而i是1,${n\choose i}$就不是奇数啦 对于n二进制的每一个1,i都有两种选择,答案就是$2^{bitC…

前言日常开发中位运算不是很常用,但是巧妙的使用位运算可以大量减少运行开销,优化算法.举个例子,翻转操作比较常见,比如初始值为1,操作一次变为0,再操作一次变为1.可能的做法是使用三木运算符,判断原始值为1还是0,如果是1,设置为0,否则设置为0.但是使用位运算,不用判断原始值,直接改变值就可以: 1^num//num为原始值 当然,一条语句可能对代码没什么影响,但是在高重复,大数据量的情况下将会节省很多开销. 以下是自己整理的关于java位运算的部分内容,如有错误,还请指出,以共同进步,先行致谢…

题意 游戏“The Pilots Brothers:跟随有条纹的大象”有一个玩家需要打开冰箱的任务. 冰箱门上有16个把手.每个手柄可以处于以下两种状态之一:打开或关闭.只有当所有把手都打开时,冰箱才会打开.手柄表示为矩阵4х4.您可以在任何位置[i,j](1≤i,j≤4)更改句柄的状态.但是,这也会更改第i行中所有句柄的状态以及第j列中的所有句柄. 任务是确定打开冰箱所需的最小手柄切换次数. 思路 一个和“费解的开关”,"棋盘翻转",这样的位运算的题目很像,只不过这次一次翻转1行+1…

题目分析: 我记得很久以前有人跟我说NOIP2016的题目出了加强版在清华集训中,但这似乎是一道无关的题目? 由于$k$为素数,那么$lucas$定理就可以搬上台面了. 注意到$\binom{i}{j} \equiv 0 {\mod k}$当且仅当将$i$和$j$用$k$进制表示的时候,有一位上的$i<j$. 位数上的计算用数位DP就没错了. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ; int t,k; long long n,m…

& 位运算 AND | 位运算 OR ^ 位运算 XOR &^ 位清空 (AND NOT) << 左移 >> 右移 感觉位运算操作符虽然在平时用得并不多,但是在涉及到底层性能优化或者使用某些trick的时候还是比较有意思. &(AND) |(OR) 就不提了最常用的东西 会编程就会. &操作的话是当 两个数需要同时为1的时候才会保留. 例如 0000 0100 & 0000 1111 => 0000 0100 => 4 | 操作的…

关于位运算,网上有挺多好的博客介绍过,我就不多解释了 这里只记录一个小例子,是在理解位运算时候写的,帮助自己加深一下印象,做个笔记mark一下 具体场景 摇骰子游戏 1每个骰子有6个点,1-3为小,4-6为大,[1,3,5]为单,[2,4,6]为双 2每次扔3个骰子 问题:如果把每场结果设成实体对象,那么该如何设计呢? 其他的属性就不过多纠结,主要在3个骰子这里 不管是把骰子设成复杂对象,或者是把每个骰子的大小单双分开记下来,都会显得很麻烦 如果使用位运算,就会变得简单许多,代码如下: publ…

Flip Game Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 30669   Accepted: 13345 Description Flip game is played on a rectangular 4x4 field with two-sided pieces placed on each of its 16 squares. One side of each piece is white and the…

原文转自:http://www.crazycpp.com/?p=82 前言 以前收藏过一篇讲C++位操作的文章,这次博客搬家,以前的数据都没有保留,整理谷歌网站管理后台的时候,发现不时的还有网友有在查找这篇文章.所以,疯刀也来弄个简单的教程,讲讲位操作的用途和魅力吧. 位简介 位是数据存储的最小单位.在 计算机中的二进制数系统中,位,简记为b,也称为比特,每个0或1就是一个位(bit). 位操作详解 我们先来看看位运算操作符:& (按位与).| (按位或).^ (按位异或).~ (按位取反).&g…

题面 传送门 思路 一句话题意: 给出一个长度为 n 的序列,求所有长度大于等于2的子序列个数,满足:对于子序列中任意两个相邻的数 a和 b (b 在 a 前面),$C_a^b mod 2=1$,答案对1e9+7取模 显然膜2余1是个非常特殊的性质,应当好好加以利用 和组合数取模有关的东西,有Lucas定理,因此我们来试着推一推 $C_n^m%2=C_{n%2}^{m%2}\ast C_{n/2}^{m/2}$ 这个玩意的意义,显然就是把n和m转成二进制,那么只要没有某一位上n是0m是1(此时$…

(上不了p站我要死了,当然是游戏原画啊) Description (题面倒是很有趣,就是太长了) 题意: 一个朝代流传的猪文文字恰好为N的k分之一,其中k是N的一个正约数(可以是1和N).不过具体是哪k分之一,以及k是多少,由于历史过于久远,已经无从考证了.考虑到所有可能的k.显然当k等于某个定值时,该朝的猪文文字个数为N / k.然而从N个文字中保留下N / k个的情况也是相当多的.如果所有可能的k的所有情况数加起来为P的话,那么他研究古代文字的代价将会是G的P次方. 现在他想知道研究古代文字…

题目链接 loj300 题解 orz litble 膜完题解后,突然有一个简单的想法: 考虑到\(2\)是质数,考虑Lucas定理: \[{n \choose m} = \prod_{i = 1} {\lfloor \frac{n}{2^{i - 1}} \rfloor \mod 2^i \choose \lfloor \frac{m}{2^{i - 1}} \rfloor \mod 2^i} \pmod 2\] 即 \[{n \choose m} = \prod_{each.bit.of.n.…