若正实数$x,y$满足$x^3+y^3=(4x-5y)y$ 则 $y$ 的最大值为____ 解答:$x^3+y^3+y^2=4(x-y)y\le x^2$,故$y^3+y^2=x^2-x^3=\dfrac{x(2-2x)x}{2}\le\dfrac{4}{27}$,故由$f(t)=t^3+t^2$的单调性$y\le \dfrac{1}{3}$…

实数$x,y$满足$x^2+y^2=20,$求$xy+8x+y$的最大值___ 法一:$xy\le\dfrac{1}{4}x^2+y^2,8x\le x^2+16,y\le\dfrac{1}{4}y^2+1,$故$xy+8x+y\le\dfrac{5}{4}(x^2+y^2)+17=42$法二:$(xy+8x+y)^2\le (x^2+8^2+y^2)(y^2+x^2+1^2)=84*21=42^2$法三:记$f(x,y,k)=xy+8x+y-k(x^2+y^2-20)$,令$f^{'}_x=0…

评:切线不等式和琴生(Jesen)不等式都是有其几何意义的,在对称式中每一项单变量后利用图像的凹凸性得到一个线性的关系式.已知的条件往往就是线性条件,从而可以得到最值.…

已知 $a,b,c\in\mathbb R$,求证:$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$ 分析:不妨设$c=\max\{a,b,c\},\dfrac{a}{c}=x,\dfrac{b}{c}=y$两边同除$|c|$后只需证明 $|x|+|y|+1+|x+y+1|\ge|x+y|+|y+1|+|x+1|$注意到恒等式$|x|+|y|+|z|=\max\{|x+y+z|,|x+y-z|,|x-y+z|,|x-y-z|\}$,易得. 练习:…

已知$a,b>0$且$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{3}$,求$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{4}{b-1}$的最小值. 解:令$m=\dfrac{1}{a},n=\dfrac{1}{b}$,则$m+n=\dfrac{2}{3}$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{4}{b-1}=\dfrac{m}{1-m}+\dfrac{4n}{1-n}=\dfrac{1}{1-m}+\dfrac{4}{1-n}-5\ge\dfrac{(1+2…

(2014北约自主招生)已知正实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$满足$x_1x_2\cdots x_n=1,$求证:$(\sqrt{2}+x_1)(\sqrt{2}+x_2)\cdots(\sqrt{2}+x_n)\ge(\sqrt{2}+1)^n$ 分析:根据$\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+x_k}}{n}\ge\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n\dfrac{\sqrt{2}}{\sqr…

证明: 评: 可以思考$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+a)^2}$与$\frac{2}{(1+\sqrt{ab})^2}$大小.…

已知$\theta\in[0,2\pi]$对任意$x\in[0,1],2x^2sin\theta-4x(1-x)cos\theta+3(1-x)^2>0$恒成立.求$\theta$的范围. 解答:令$x=1$易得$sin\theta>0,\because x\in(0,1)$,$$2x^2sin\theta-4x(1-x)cos\theta+3(1-x)^2$$ $$\ge2\sqrt{6}x(1-x)\sqrt{sin\theta}-4x(1-x)cos\theta$$ $$=2x(1-x)…

评:舒尔的想法是美妙的,当然他本身也有很多意义,在机械化证明的理念里,它也占据了一方田地.…

注:康拓诺维奇不等式的应用…