3512: DZY Loves Math IV 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)\),\(n \le 10^5, m \le 10^9\) n较小,考虑写成前缀和的形式,计算\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \varphi(in)\) 一开始想出 \[ n= \prod_i p_i,\ \varphi(in) = \varphi(i) \cdot \varphi(\frac{n}{d})\cdot d,\ d=(n,i) \] 比较…

Description 给定n,m,求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\varphi(ij)\)模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9. sol %%%ranwen!!! 前置技能: \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\) \(\v…

参考:http://blog.csdn.net/wzf_2000/article/details/54630931 有这样一个显然的结论:当\( |\mu(n)|==1 \)时,\( \phi(nk)=\phi(k)\sum_{d|gcd(n,k)}\phi(\frac{n}{d}) \)然后看n的范围比较友好就先不去管它,先看后面的: \[ if |\mu(i)|==1 \] \[ \sum_{k=1}^{i}\sum_{d|i,d|k}\phi(\frac{n}{d})\phi(k) \]…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512 题解: $$求ANS=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\phi(ij)\quad N\leq 10^5\;M\leq 10^9$$ 杜教筛 因为N比较小,所以从这里入手: 设$sum(n,M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(ni)$ 则答案为$ANS=\sum_{n=1}^{N}sum(n,M)$ 考虑如何求$sum(n,M)$ 首先按照唯一分解定理,…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Input 仅一行,两个整数n,m. Output 仅一行答案. Sample Input 100000 1000000000 Sample Output 857275582 数据规模: 1<=n<=10^5,1<=m<=10^9,本题共4组数据. Solution 这题还真是要一点函数基础 设 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ,所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)…

Description 给定n,m,求 模10^9+7的值. Solution 设 \(S(n,m)\) 表示 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) \(Ans=\sum_{i=1}^{n}S(i,m)\) \(S(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\phi(n*i)\) 如果 \(\mu(n)!=0\) 则有 \(\sum_{i=1}^{m}\phi(\frac{n}{gcd(i,n)})*\phi(i)*gcd(i,n)\) (因为要保证除完\(gcd\)之后,两数不含…

题意:\(f(n)\)为n的质因子分解中的最大幂指数,求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))\) 套路推♂倒 \[ \sum_{D=1}^n \sum_{d|D} f(d)\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D} \] 这次函数是\(g = (f*\mu )\),\(f\)显然不是积性函数,但我们照样可以用线性筛 具体做法我晚上回家再补吧草稿纸忘带了... 补: \(g(p^a)=p-(p-1)\) 因为卷了\(\…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题解: 莫比乌斯反演,线筛 化一化式子: f(x)表示x的质因子分解中的最大幂指数 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))$ $\quad\quad=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\lfloo…

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\] 其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\). 题解 这个数据范围很有意思. \(n\)的值足够小,所以我们可以直接暴力枚举\(n\). 那么所求: \[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\] 考虑如何将\(\varphi\)给拆开,因为\(\varphi\)只有每个质因子第一次出现的时候才会特殊计算…

BZOJ 3561 DZY Loves Math VI 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\text{lcm}(i,j)^{\gcd(i,j)}\),钦定\(n\leq m\) \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\frac{ij}{{\gcd(i,j)}})^{\gcd(i,j)}\) 按套路,提出\(\gcd(i,j)\),枚举的\(i\),\(j\)都除\(g\) \(\sum_{g=1}^ng^g\sum_{i=1}^{n/g}\su…