[BZOJ3451]Normal(点分治+FFT) 题面 给你一棵 n个点的树,对这棵树进行随机点分治,每次随机一个点作为分治中心.定义消耗时间为每层分治的子树大小之和,求消耗时间的期望. 分析 根据期望的线性性,答案是\(\sum_{i=1}^n(i的期望子树大小)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [j在i的点分治子树内]\) 考虑j在i的点分治子树内的条件,显然i到j的路径上的所有点中,i是第一个被选择为分治中心的.否则如果选的点不是i,那么i和j会被分到两棵子树中.第一…

[BZOJ3451]normal 点分治,NTT 好久没更博了,咕咕咕. BZOJ3451权限题,上darkbzoj交吧. 一句话题意,求随机点分治的期望复杂度. 考虑计算每个点对的贡献:如果一个点在点分树上是另一个点的祖先,那么这个点对另一个点的贡献就是1,这样的话,这个点就必须是这两个点之间的链上的点中在点分树上深度最浅的点,由于链上每个点成为点分树上最浅的点的概率都是相等的,所以这个点对对最终的期望的贡献就是\(\frac{1}{dis(i, j) + 1}\),这里的\(dis(i, j…

[BZOJ3451]Tyvj1953 Normal Description 某天WJMZBMR学习了一个神奇的算法:树的点分治!这个算法的核心是这样的:消耗时间=0Solve(树 a) 消耗时间 += a 的 大小 如果 a 中 只有 1 个点  退出 否则在a中选一个点x,在a中删除点x 那么a变成了几个小一点的树,对每个小树递归调用Solve我们注意到的这个算法的时间复杂度跟选择的点x是密切相关的.如果x是树的重心,那么时间复杂度就是O(nlogn)但是由于WJMZBMR比较傻逼,他决定随机…

题目来源:NOI2019模拟测试赛(七) 非原题面,题意有略微区别 题意: 吐槽: 心态崩了. 好不容易场上想出一题正解,写了三个小时结果写了个假的点分治,卡成$O(n^2)$ 我退役吧. 题解: 原题是求随机树分治的期望深度和,题意相同. 对于一个点$x$,考虑点$y$是否能作为它在点分树上的祖先节点,显然当且仅当$y$在$x$到$y$的路径中第一个被选为分治中心时会对$x$产生1的贡献: 由于路径上所有点被选到的概率都是相等的,所以此时的期望就是$\frac{1}{dis(x,y)}$: 那…

根据期望的线性性,我们算出每个点期望被计算次数,然后进行累加. 考虑点 $x$ 对点 $y$ 产生了贡献,那么说明 $(x,y)$ 之间的点中 $x$ 是第一个被删除的. 这个期望就是 $\frac{1}{dis(x,y)+1}$,所以我们只需求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{dis(i,j)+1}$ 即可. 然后这个直接求是求不出来的,所以需要用点分治+FFT来算树上每种距离都出现了多少次. code: #include <bits/stdc++.…

https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/8611948.html #include<cmath> #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) using namespace std; ; .); int n,u,…

国际惯例的题面:代价理解为重心和每个点这个点对的代价.根据期望的线性性,我们枚举每个点,计算会产生的ij点对的代价即可.那么,i到j的链上,i必须是第一个被选择的点.对于i来说,就是1/dis(i,j).所以答案就是sigma(i,j) 1/(dis(i,j)+1).然而这样计算是n^2的,考虑优化.如果我们能计算出边长为某个数值的边的数量的话,是不是就能计算答案呢?统计路径的题,一眼点分治.考虑怎样计算,我们能dfs出每个子树中距离分治重心为x的点有多少个,然后我们枚举两个点让他们取去组成路径…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/BZOJ3451.html 题目传送门 - BZOJ3451 题意 给定一棵有 $n$ 个节点的树,在树上随机点分治,问消耗时间的期望. 计算点分治耗时由如下函数给出: Time = 0 Solve( T ){ Time += |T| if ( |T| = 1 ) then return ; x = 一个随机节点 in T for y in {与 x 直接连边的节点 in T} do Solve( SubTre…

题目描述 给你一棵 $n$ 个点的树,对这棵树进行随机点分治,每次随机一个点作为分治中心.定义消耗时间为每层分治的子树大小之和,求消耗时间的期望. 输入 第一行一个整数n,表示树的大小接下来n-1行每行两个数a,b,表示a和b之间有一条边注意点是从0开始标号的 输出 一行一个浮点数表示答案四舍五入到小数点后4位如果害怕精度跪建议用long double或者extended 样例输入 30 11 2 样例输出 5.6667 题解 期望+树的点分治+FFT 由于期望可加,因此所求等于 $\sum\l…

传送门 大意:ACM校队一共有n名队员,从1到n标号,现在n名队员要组成若干支队伍,每支队伍至多有m名队员,求一共有多少种不同的组队方案.两个组队方案被视为不同的,当且仅当存在至少一名队员在两种方案中有不同的队友. 这年头真是--分治FFT都开始烂大街了-- 我们来推一推吧 这显然是一个1d1d的DP,用f[i]表示i名队员的方案数 f[i]=∑j=0i−1f[i−j−1]∗Cji−1 即i−1个人里面选j个和i组队(似乎类似strling数) 然后化一下简,便可得到 f[i]=(i−1)!∑j…

hdu 5730 Shell Necklace 题意:求递推式\(f_n = \sum_{i=1}^n a_i f_{n-i}\),模313 多么优秀的模板题 可以用分治fft,也可以多项式求逆 分治fft 注意过程中把r-l+1当做次数界就可以了,因为其中一个向量是[l,mid],我们只需要[mid+1,r]的结果. 多项式求逆 变成了 \[ A(x) = \frac{f_0}{1-B(x)} \] 的形式 要用拆系数fft,直接把之前的代码复制上就可以啦 #include <iostream…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 用斯特林数容斥原理推导那个式子可以直接出卷积形式,见下一篇,本篇是分治fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 Bell数 \(B(n)=\sum\limits_{i=…

分治FFT是几个算法的统称.它们之间并无关联. 分治多项式乘法 问题如求\(\prod_{i=1}^na_ix+b\). 若挨个乘复杂度为\(O(n^2\log n)\),可分治做这件事,复杂度为\(O(n\log^2 n)\).采用这种算法的条件是最终乘出来的式子长度是\(O(n)\)的. 也可以用多项式ln和exp做到\(O(n\log n)\). 用CDQ分治快速求一类多项式的算法 第一类 已知\(f(x)=\sum_{i=1}^xf(i)g(x-i)\),给定\(f(0)\).\(g(1…

题目大意 有\(n\)种颜色的球,第\(i\)种有\(a_i\)个.设\(m=\sum a_i\).你要把这\(m\)个小球排成一排.有\(q\)个询问,每次给你一个\(x\),问你有多少种方案使得相邻的小球同色的对数为\(x\). \(n\leq 10000,m\leq 200000\) 题解 我们考虑把这些小球分段,每段内所有小球颜色相同,但相邻两段的小球颜色可以相同. 设第\(i\)种颜色有\(b_i\)段,那么分\(j\)段的方案数是\(\frac{(\sum b_i)!}{\sum(b…

题目描述 在一个 \(n\) 个点的有向图中,编号从 \(1\) 到 \(n\),任意两个点之间都有且仅有一条有向边.现在已知一些单向的简单路径(路径上任意两点各不相同),例如 \(2\to 4\to 1\).且已知的这些简单路径之间没有公共的顶点,其 余的边的方向等概率随机. 你需要求出强连通分量(如果同时存在 \(a\) 到 \(b\), \(b\) 到 \(a\) 的有向路径,则 \(a\), \(b\) 属于同一个强联通分量) 的期望个数.如果最后答案是 \(\frac{A}{B}\),…

最裸的点分治+fft,调了好久,太菜了.... #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ,inf=1e9; ); int f[maxn],t,last[maxn],pre[maxn],other[maxn],siz[maxn…

题目描述 有一个\(n\)个元素的置换,你要选择\(k\)个元素,问有多少种方案满足:对于每个轮换,你都选择了其中的一个元素. 对\(998244353\)取模. \(k\leq n\leq 152501\) 题解 吐槽 为什么一道FFT题要把\(n\)设为\(150000\)? 解法一 先把轮换拆出来. 直接DP. 设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个轮换选择了\(j\)个元素,且每个轮换都选择了至少一个元素的方案数. \[ f_{i,j}=\sum_{k=1}^{a_i}f_{i-1,j…

CTT=清华集训 题目大意 有\(n\)个点,点权为\(a_i\),你要连接一条边,使该图变成一颗树. 对于一种连边方案\(T\),设第\(i\)个点的度数为\(d_i\),那么这棵树的价值为: \[ val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m) \] 求所有生成树的价值和\(\bmod 998244353\) \(n\leq 30000,m\leq 30\) 题解 很容易想到prufer序列 先把式子化简: \[ \begin{…

题目描述 对于一个\(1\)到\(n\)的排列\(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\),我们定义这个排列的\(P\)值和\(Q\)值: 对于每个\(a_i\),如果存在一个最小的\(j\)使得\(i<j\)且\(a_i<a_j\),那么将\(a_i\)和\(a_j\)连一条无向边.于是就得到一幅图.计算这幅图每个联通块的大小,将它们相乘,得到\(P\).记\(Q=P^k\). 对于\(1\)到\(n\)的所有排列,我们想知道它们的\(Q\)值之和.由于答案可能很大,请将答案对\(9…

题目大意 ​ 小Q发明了一种进位制,每一位的变化范围是\(0\)~\(b_i-1\),给你一个这种进位制下的整数\(a\),问你有多少非负整数小于\(a\).结果以十进制表示. ​ \(n\leq 120000,0\leq a_i<b_i\leq 1000000\) 题解 ​ 就是求这个数. ​ 那没什么好说的,直接分治FFT 处理左半边(低位)的\(c_1=\prod b_i\)和答案\(d_1\),右半边的\(c2,d2\) ​ 那么\(c=c_1\times c_2,d=d_2\times…

题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}} \] \[ \begin{align} g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\ &=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-…

以前学的分治fft f[i]=sigma(f[i-x]*g[x]),其中g[x]已知 那么我们可以用cdq分治来做(l,mid 对mid+1,t的影响) 而现在的$f[i]=sum(f(i-x)*f(x))$ 我们如果沿用刚才的方法 会发现有$f(t-h)$这一项 而$t-h>mid$是有可能的 所以我们要在后续处理这件事情 先将$f[l,mid]*f[l,mid]$乘起来 如果$t-h<h$ 还要算$f[1,t-h]*f[h,mid]$ 注意还要乘2 注意多次用fft 每次还原a,b数组 因…

题目大意:你有$n$个操作和一个初始为$0$的变量$x$. 第$i$个操作为:以$P_i$的概率给$x$加上$A_i$,剩下$1-P_i$的概率给$x$乘上$B_i$. 你袭击生成了一个长度为$n$的排列$C$,并以此执行了第$C_1,C_2....C_n$个操作. 求执行完所有操作后,变量$x$的期望膜$998244353$的值. 数据范围:$n≤10^5,0≤P,A,B<998244353$ 我太菜了. 考虑如果并没有排列的要求,而是强行依次执行,会发生什么事情: 令$X_i$表示执行完前$…

瞎扯 虽然说是FFT但是还是写了一发NTT(笑) 然后忘了IDFT之后要除个n懵逼了好久 以及递归的时候忘了边界无限RE 思路 朴素算法 分治FFT 考虑到题目要求求这样的一个式子 \[ F_x=\Sigma_{i=1}^{x}F_{x-i}G_{i} \] 我们可以按定义暴力,然后再松式卡常(不是) 我们可以发现它长得像一个卷积一样,但是因为后面的f值会依赖与前面的f值,所以没法一遍FFT直接求出结果,而对每个f都跑一遍FFT太慢了,我们使用分治优化这个过程就很优秀了,复杂度是\(O(n\lo…

\[ \begin{aligned} Ans(k) &= \sum \limits_{i = 1}^n \sum \limits_{j = 1}^m \sum \limits_{t = 0}^k \binom{k}{t} a_i^t b_j^{k - t} \\ &= \sum \limits_{t = 0}^k \binom{k}{t} (\sum \limits_{i = 1}^n a_i^t) (\sum \limits_{j = 1}^m b_i^{k - t}) \\ &…

题目链接 换一下形式:\[f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_jg_{i-j}\] 然后就是分治FFT模板了\[f_{i,i\in[mid+1,r]}=\sum_{j=l}^{mid}f_jg_{i-j}+\sum_{j=mid+1}^rf_jg_{i-j}\] 复杂度\(O(n\log^2n)\). 分治思路见:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9366763.html 多项式求逆做法先坑着. //693ms 4.91MB #include <…

题意:\(dp[n]=\sum_{i=1}^ndp[i]*a[n-i]+a[n]\),求dp[n], 题解:分治fft裸题,就是用cdq分治加速fft,因为后面的需要用到前面的dp来算,不可能每次都fft过去,那样复杂度就\(O(n^2\logn)\)了 考虑当前枚举到[l,r]区间,左侧是[l,m]对于右侧每一个dp[x],左侧的贡献有\(\sum_{i=l}^m dp[i]*a[x-i]\),那么我们需要快速算出左侧所有dp对右侧每个dp的所有贡献 \(x_0|x_1|x_2|...|x_{…

Description 定义二元运算 opt 满足 现在给定一个长为 n 的数列 a 和一个长为 m 的数列 b ,接下来有 q 次询问.每次询问给定一个数字 c 你需要求出有多少对 (i, j) 使得 a_i opt b_j=c . Input 第一行是一个整数 T (1≤T≤10) ,表示测试数据的组数. 对于每组测试数据: 第一行是三个整数 n,m,q (1≤n,m,q≤50000) . 第二行是 n 个整数,表示 a_1,a_2,?,a_n (0≤a_1,a_2,?,a_n≤50000)…

考试一道题的递推式为$$f[i]=\sum_{j=1}^{i} j^k \times (i-1)! \times \frac{f[i-j]}{(i-j)!}$$这显然是一个卷积的形式,但$f$需要由自己卷过来(我也不知到怎么说),以前只会生成函数的做法,但这题好像做不了(谁教教我怎么做),于是无奈的写了一发暴力,看题解发现是分治FFT.分治每层用$f[l]-f[mid]$与$a[1]-a[r-l]$做NTT.这样显然每个$f[l]-f[mid]$对$f[mid+1]-f[r]$的贡献都考虑到了.…

https://blog.csdn.net/Maxwei_wzj/article/details/80714129 n个二项式相乘可以用分治+FFT的方法,使用空间回收可以只开log个数组. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) using namespace std; ,mod=; ],tmp[][N]; int ksm(int a,int b…