整数的lqp拆分 [问题描述] lqp在为出题而烦恼,他完全没有头绪,好烦啊… 他首先想到了整数拆分.整数拆分是个很有趣的问题.给你一个正整数N,对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0,a1 ,a2 ,a3…am>0,且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合.通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式,但是因为这个递推式实在太简单了,如果出这样的题目,大家会对比赛毫无兴趣的. 然后lqp又想到了斐波那契数.定义F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 (…

传送门 题意简述:语文不好不会写,自己看吧 思路如此精妙,代码如此简洁,实是锻炼思维水经验之好题 这种题当然是一眼DP啦. 设\(dp_n\)为把\(n\)拆分后的答案.为了方便我们设\(dp_0=1\) 由题意有 \[ dp_n=[n=0]+\sum_{i=1}^n dp_{n-i}f_i \] 按照套路,我们考虑它的生成函数\(A(x)\) \[ \begin{align*} A(x)&=\sum_n ([n=0]+\sum_{i=1}^n f_i dp_{n-i})x^n\\ &=1…

题面 传送门 题解 我对生成函数一无所知 我们设\(F(x)\)为斐波那契数列的生成函数,\(G(x)\)为答案的生成函数,那么容易得到递推关系 \[g_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_ig_{n-i}+f_n\] 其中\(g_0=0,g_1=1\) 那么写成生成函数的形式就是 \[G=FG+F\] \[G={F\over 1-F}\] 我们考虑一下\(F\),因为 \[F(x)=\sum_{i=1}^\infty f_ix^i\] \[xF(x)=\sum_{i=2}^\infty f…

洛谷 这个题目是黑题,本来想打表的,但是表调不出来(我逊毙了)! 然后随便打了一个递推,凑出了样例, 竟然. 竟然.. 竟然... A了!!!!!!! 直接:\(f[i]=f[i-1]*2+f[i-2]~~~f[0]=0,f[1]=1\),恭喜你! code: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll a[86]={0,1,2},n,ans,q[800]; /*void search(ll x)…

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; inline LL read () { LL res = ;) ;char ch = getchar (); ;ch = getchar();} ) + (res << ) + (ch ^ ) ,ch = getchar(); return res * f ; } LL n; LL a[<<]; signed main () { n=r…

题目链接:洛谷 题目大意:求对于所有$n$的拆分$a_i$,使得$\sum_{i=1}^ma_i=n$,$\prod_{i=1}^mf_{a_i}$之和.其中$f_i$为斐波那契数列的第$i$项. 数据范围:$n\leq 10^6$ 首先不要被这个[国家集训队]给吓到了,其实很简单的. 首先考虑打表,....(逃 显然一眼就能想到卷积,设$F(x)$为$f$的生成函数.则 $$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$ $$Ans=\sum_{i=0}^nF^i(x)[x^n]$$ $$=…

我们的目标是求$\sum\prod_{i=1}^m F_{a_i}$ 设$f(i) = \sum\prod_{j=1}^i F_{a_j}$那么$f(i - 1) = \sum\prod_{j=1}^{i - 1} F_{a_j}$又有递推式$f(i) = \sum_{j = 1}^{i - 1}f(j) * F_{a_i - j}$ 那么推吧$$f(i) - f(i - 1)$$$$=\sum_{j = 1}^{i - 1}f(j) * F_{a_i - j} - \sum_{j = 1}^{…

题解: 考场上靠打表找规律切的题,不过严谨的数学推导才是本题精妙所在:求:$\sum\prod_{i=1}^{m}F_{a{i}}$ 设 $f(i)$ 为 $N=i$ 时的答案,$F_{i}$ 为斐波那契数列第 $i$ 项.由于 $a$ 序列是有序的,要求的答案可以表示成:$f(i)=\sum_{j=1}^{i}f(j)*F_{i-j}$由于斐波那契数列第 0 项是 0,显然可以表示成:$f(i)=\sum_{j=1}^{i-1}f(j)*F_{i-j}$考虑一下 $f(i+1)$ 和 $f(i…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4451 题目大意 给出\(n\),对于所有满足\(\sum_{i=1}^ma_i=n\)且\(\forall a_i\in N^+\)的序列求 \[\sum_{m=1}^{\infty}\prod_{i=1}^mFbi_{a_i} \] 其中\(Fbi_x\)表示第\(x\)个斐波那契数 \(1\leq n\leq 10^{10^4}\) 解题思路 因为刚学特征方程所以推的都会写下来,比较冗长 首先考虑斐波那契…

[题目描述] lqp在为出题而烦恼,他完全没有头绪,好烦啊… 他首先想到了整数拆分.整数拆分是个很有趣的问题.给你一个正整数N,对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0,a1 ,a2 ,a3…am>0,且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合.通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式,但是因为这个递推式实在太简单了,如果出这样的题目,大家会对比赛毫无兴趣的. 然后lqp又想到了斐波那契数.定义F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 (n>1),F…

靠着暴力+直觉搞出递推式 f(n) = ∑F(i)f(n-i) (1≤i≤n) (直接想大概也不会很复杂吧...). f(0)=0 感受一下这个递推式...因为和斐波那契有关..我们算一下f(n)+f(n+1)... f(n)+f(n+1) = F(1)f(n-1)+F(2)f(n-2)+…+F(n)f(0) + F(1)f(n)+F(2)f(n-1)+…+F(n+1)f(0) = (F(0)+F(1))f(n)+(F(1)+F(2))f(n-1)+……+(F(n)+F(n+1))f(0) =…

2173: 整数的lqp拆分 Description lqp在为出题而烦恼,他完全没有头绪,好烦啊- 他首先想到了整数拆分.整数拆分是个很有趣的问题.给你一个正整数N,对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0,a1 ,a2 ,a3-am>0,且a1+a2+a3+-+am=N的一个有序集合.通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式,但是因为这个递推式实在太简单了,如果出这样的题目,大家会对比赛毫无兴趣的.然后lqp又想到了斐波那契数.定义F0=0,F1=1,Fn=F…

题目大意 lqp在为出题而烦恼,他完全没有头绪,好烦啊… 他首先想到了整数拆分.整数拆分是个很有趣的问题.给你一个正整数N,对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0,a1 ,a2 ,a3…am>0,且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合.通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式,但是因为这个递推式实在太简单了,如果出这样的题目,大家会对比赛毫无兴趣的. 然后lqp又想到了斐波那契数.定义F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 (n>1),Fn就…

首先有序整数拆分有个显然的递推式是g(n)=Σg(i) (i=0~n-1),即枚举加入最后一个数之前和是多少.(虽然不用递推式也能显然地知道答案是2n-1). 类似地,lqp拆分有递推式f(n)=Σf(i)fib(n-i) (i=0~n-1).由乘法分配律就可以推出.特别地,f(0)=1. 又是一个卷积.是不是可以直接算了?啊要分治FFTn有1e6而且还不是NTT模数……肯定跑不过去啊.于是考虑生成函数. 设其生成函数为F(x),斐波拉契数列的生成函数为FIB(x).则F(x)=F(x)·FIB…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   求 \[\sum_{m>0\\a_{1..m}>0\\a_1+\cdots+a_m=n}\prod_{i=1}^mf_{a_i} \]   其中 \(f_i\) 为 Fibonacci 数列第 \(i\) 项(\(f_0=0,f_1=1\)),答案对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le10^{10^4}\). \(\mathcal{Solution}\)   记 \(F(x)\) 为 \(\{f\}\) 的 O…

题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=2173 题意:给出输出n.设一种拆分为n=x1+x2+x3,那么这种拆分的价值为F(x1)*F(x2)*F(x3),F为斐波那契额数列.求所有拆分的价值之和. 思路: i64 G[N]; void init(){    G[0]=0; G[1]=1;    int i;    for(i=2;i<N;i++) G[i]=(G[i-1]*2+G[i-2])%mod;} int n; int…

比较水的一题.居然是一道没看题解就会做的黑题…… 题目链接:洛谷 题目大意:定义一个长度为 $m$ 的正整数序列 $a$ 的价值为 $\prod f_{a_i}$.($f$ 是斐波那契数)对于每一个 $\sum a_i=n$ 的正整数序列,求出它们的价值之和. $1\le n\le 10^6$. 这题一看就是生成函数瞎搞. 令 $F$ 为 $f$ 的生成函数. 那么有 $F=x\times F+x^2\times F+x$. 就有 $F=\dfrac{x}{1-x-x^2}$. 答案即为 $\s…

2039: [2009国家集训队]employ人员雇佣 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1369  Solved: 667[Submit][Status][Discuss] Description 作为一个富有经营头脑的富翁,小L决定从本国最优秀的经理中雇佣一些来经营自己的公司.这些经理相互之间合作有一个贡献指数,(我们用Ei,j表示i经理对j经理的了解程度),即当经理i和经理j同时被雇佣时,经理i会对经理j做出贡献,使得所赚得的利…

国家集训队1999论文集 陈宏:<数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起>来煜坤:<把握本质,灵活运用——动态规划的深入探讨>齐鑫:<搜索方法中的剪枝优化>邵铮:<数学模型的建立.比较和应用>石润婷:<隐蔽化.多维化.开放化——论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性>杨帆:<准确性.全面性.美观性——测试数据设计中的三要素>周咏基:<论随机化算法的原理与设计> 国家集训队2000论文集 陈彧:<信…

鉴于大家都在找这些神牛的论文.我就转载了这篇论文合集 国家集训队论文分类 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰:<Pólya原理及其应用> 2003 - 许智磊:<浅谈补集转化思想在统计问题中的应用> 2007 - 周冬:<生成树的计数及其应用> 2008 - 陈瑜希<Pólya计数法的应用> 数位问题 2009 - 高逸涵<数位计数问题解法研究> 2009 - 刘聪<浅谈数位类统计问题> 动态统计 2004 - 薛矛:<…

[试题来源] 2011中国国家集训队命题答辩 [问题描述] 高一一班的座位表是个n*m的矩阵,经过一个学期的相处,每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友.这学期要分文理科了,每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值,而一对好朋友如果能同时选文科或者理科,那么他们又将收获一些喜悦值.作为计算机竞赛教练的scp大老板,想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大. [输入格式] 第一行两个正整数n,m.接下来是六个矩阵第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学…

BZOJ_2039_[2009国家集训队]employ人员雇佣_ 最小割 Description 作为一个富有经营头脑的富翁,小L决定从本国最优秀的经理中雇佣一些来经营自己的公司.这些经理相互之间合作有一个贡献指数,(我们用Ei,j表示i经理对j经理的了解程度),即当经理i和经理j同时被雇佣时,经理i会对经理j做出贡献,使得所赚得的利润增加Ei,j.当然,雇佣每一个经理都需要花费一定的金钱Ai,对于一些经理可能他做出的贡献不值得他的花费,那么作为一个聪明的人,小L当然不会雇佣他. 然而,那些没有…

BZOJ_2622_[2012国家集训队测试]深入虎穴_最短路 Description 虎是中国传统文化中一个独特的意象.我们既会把老虎的形象用到喜庆的节日装饰画上,也可能把它视作一种邪恶的可怕的动物,例如“武松打虎”或者“三人成虎”.“不入虎穴焉得虎子”是一个对虎的威猛的形象的极好体现,而小强确偏偏进入了虎穴,但问题是怎么出来. 有一个复杂的虎穴包括了N个节点(编号为0至N-1)和M条无向的通道,其中通道i(0<=i<M)连接两个节点R[i][0]和R[i][1],长为L[i].有K个出口节…

国家集训队1999论文集 陈宏:<数据结构的选择与算法效率--从IOI98试题PICTURE谈起> 来煜坤:<把握本质,灵活运用--动态规划的深入探讨> 齐鑫:<搜索方法中的剪枝优化> 邵铮:<数学模型的建立.比较和应用> 石润婷:<隐蔽化.多维化.开放化--论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性> 杨帆:<准确性.全面性.美观性--测试数据设计中的三要素> 周咏基:<论随机化算法的原理与设计> 国家集训队2000论文集 陈彧…

P1852 [国家集训队]跳跳棋 题目描述 跳跳棋是在一条数轴上进行的.棋子只能摆在整点上.每个点不能摆超过一个棋子. 我们用跳跳棋来做一个简单的游戏:棋盘上有3颗棋子,分别在\(a\),\(b\),\(c\)这三个位置.我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成\(x\),\(y\),\(z\).(棋子是没有区别的) 跳动的规则很简单,任意选一颗棋子,对一颗中轴棋子跳动.跳动后两颗棋子距离不变.一次只允许跳过1颗棋子. 写一个程序,首先判断是否可以完成任务.如果可以,输出最少需要的跳动次数. 输入…

P1792 [国家集训队]种树 题目描述 A城市有一个巨大的圆形广场,为了绿化环境和净化空气,市政府决定沿圆形广场外圈种一圈树. 园林部门得到指令后,初步规划出n个种树的位置,顺时针编号1到n.并且每个位置都有一个美观度Ai,如果在这里种树就可以得到这Ai的美观度.但由于A城市土壤肥力欠佳,两棵树决不能种在相邻的位置(i号位置和i+1号位置叫相邻位置.值得注意的是1号和n号也算相邻位置!). 最终市政府给园林部门提供了m棵树苗并要求全部种上,请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大.如果无法将m棵…

P1852 [国家集训队]跳跳棋 题目背景 原<奇怪的字符串>请前往 P2543 题目描述 跳跳棋是在一条数轴上进行的.棋子只能摆在整点上.每个点不能摆超过一个棋子. 我们用跳跳棋来做一个简单的游戏:棋盘上有3颗棋子,分别在a,b,c这三个位置.我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x,y,z.(棋子是没有区别的) 跳动的规则很简单,任意选一颗棋子,对一颗中轴棋子跳动.跳动后两颗棋子距离不变.一次只允许跳过1颗棋子. 写一个程序,首先判断是否可以完成任务.如果可以,输出最少需要的跳动次数. 输…

P4304 [TJOI2013]攻击装置 题目描述 给定一个01矩阵,其中你可以在0的位置放置攻击装置. 每一个攻击装置(x,y)都可以按照“日”字攻击其周围的8个位置(x-1,y-2),(x-2,y-1),(x+1,y-2),(x+2,y-1),(x-1,y+2),(x-2,y+1),(x+1,y+2),(x+2,y+1) 求在装置互不攻击的情况下,最多可以放置多少个装置. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数N,表示矩阵大小为N*N. 接下来N行每一行一个长度N的01串,表示矩阵. 输出…

P1501 [国家集训队]Tree II 题目描述 一棵\(n\)个点的树,每个点的初始权值为\(1\).对于这棵树有\(q\)个操作,每个操作为以下四种操作之一: + u v c:将\(u\)到\(v\)的路径上的点的权值都加上自然数\(c\): - u1 v1 u2 v2:将树中原有的边\((u_1,v_1)\)删除,加入一条新边\((u_2,v_2)\),保证操作完之后仍然是一棵树: * u v c:将\(u\)到\(v\)的路径上的点的权值都乘上自然数\(c\): / u v:询问\(u…

2039: [2009国家集训队]employ人员雇佣 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1511  Solved: 728 Description 作为一个富有经营头脑的富翁,小L决定从本国最优秀的经理中雇佣一些来经营自己的公司.这些经理相互之间合作有一个贡献指数,(我们用Ei,j表示i经理对j经理的了解程度),即当经理i和经理j同时被雇佣时,经理i会对经理j做出贡献,使得所赚得的利润增加Ei,j.当然,雇佣每一个经理都需要花费一定…