题意 满足$b_1 < b_2 < \dots < b_k$且$a_{b_1} \geqslant a_{b_2} \geqslant \dots \geqslant a_{b_k}$ Sol 组合数取模? 肯定考虑Lucas定理 考虑Lucas定理在最后一步肯定会化为$C(1, 1), C(1, 0), C(0, 0), C(0, 1)$. 很显然$C(0,1)$不存在,而其他的都等于$1$,因此当最后分解为$C(0, 1)$的时候不满足条件. 具体怎么判断呢?观察上式可以得到一个普遍…

送70分,预处理组合数是否为偶数即可. 剩下的数据,根据Lucas定理的推论可得当且仅当n&m=n的时候,C(n,m)为奇数.这样就可以直接DP了,对于每个数,考虑它对后面的数的影响即可,直接枚举子集即可. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) using namespace std; ,mod=; int n,ans,a[N],f[N],pos…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4903 https://loj.ac/problem/2264 http://uoj.ac/problem/300 题解 真 - 签到题. 对于一个组合数,直接进行 Luca 定理. \[ \binom nm = \binom {\frac n2}{\frac m2} \binom {n \bmod 2}{m\bmod 2} \] 可以发现,对于每一个二进制位,如果出现 \((0, 1)\)…

P3807 [模板]卢卡斯定理 洛谷智推模板题,qwq,还是太弱啦,组合数基础模板题还没做过... 给定n,m,p($1\le n,m,p\le 10^5$) 求 $C_{n+m}^{m}\ mod\ p$ $lucas$定理: $C_{n}^{m}=C_{n\%p}^{m\%p}\times C_{n/p}^{m/p}\mod p$ 相当于把$n,m$写成$p$进制数($A_1,A_2\dotso A_k$),($B_1,B_2\dotso B_k$) $C_{n}^{m}=C_{A_1}^{…

题目链接 首先\(C(n,m)\)为奇数当且仅当\(n\&m=m\). 简要证明: 因为是\(mod\ 2\),考虑Lucas定理. 在\(mod\ 2\)的情况下\(C(n,m)\)最后只会化成4种情况:\(C(0,1),C(0,0),C(1,0),C(1,1)\). 后三种情况都是1,\(C(0,1)\)不存在(=0).所以如果\(C(n,m)mod\ 2\)为偶数,那么在Lucas的过程中一定出现了\(C(0,1)\). \(mod\ 2\)的过程容易想到位运算. 由\(C(n,m)mod…

题目传送门 戳此处转移 题目大意 给定一个长为$n$的序列,问它有多少个长度大于等于2的子序列$b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{k}$满足$\prod_{i = 2}^{k}C_{b_{i - 1}}^{b_{i}} \equiv 1 \pmod{2}$.答案模$10^{9} + 7$ 考虑限制条件,即前后两个数$b_{i - 1}, b_{i}$,它们要满足$C_{b_{i - 1}}^{b_{i}} \equiv 1\pmod{2}$. 这样不好处理,考虑使用Lucas定理…

题目大意:给你$n,m,p(p \in \rm prime)$,求出$C_{n + m}^m\bmod p(可能p\leqslant n,m)$ 题解:卢卡斯$Lucas$定理,$C_B^A\bmod p$等于把$A,B$写成$p$进制时每一位的组合数相乘,设$A=a_n\times p^n+a_{n-1}\times p^{n-1}+\cdots+a_0$,$B=b_m\times p^m+b_{m-1}\times p^{m-1}+\cdots+b_0$,$C_B^A\bmod p=\pro…

题目背景 这是一道模板题. 题目描述 给定n,m,p(1\le n,m,p\le 10^51≤n,m,p≤105 ) 求 C_{n+m}^{m}\ mod\ pCn+mm​ mod p 保证P为prime C表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数T(T\le 10T≤10 ),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 输出格式: 共T行,每行一个整数表示答案. Lucas定理这个东西就不细学了. 毕竟就一行代码,辣么好背 $\be…

luogu 这里的组合数显然要用\(\text{lucas}\)定理来求,所以考虑\(\text{lucas}\)定理的本质,即把\(n,m\)分别拆分成\(p\)进制串\(\{a\}\{b\}\),然后\(\binom{n}{m}\mod p=\prod_i \binom{a_i}{b_i}\mod p\) 这题里\(p=2\),那么最后的\(\binom{n}{m}\)要为\(1\),当且仅当\(m\)的二进制串每一位\(\le n\)二进制串的对应位,这相当于\(n\ \&\)(按位与)\…

传送门 看到组合数在模 $2$ 意义下的乘积,考虑用 $lucas$ 定理把组合数拆开 $lucas$ 告诉我们,$C(n,m)$ 在模 $k$ 意义下的值,相当于 $n,m$ 在 $k$ 进制下每一位的组合数分别相乘的积在模 $k$ 意义下的值 就是若 $n=\sum_{i=0}a[i]k^i$,$m=\sum_{i=0}b[i]k^i$,其中 $a[i],b[i] \in [0,k-1]$ ,那么 $C(n,m) \equiv \prod_{i=0}C(a[i],b[i])\ \ (mod\…