(2018浙江省赛13题) 设实数$x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$满足$x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2},(n=1,2,\cdots,2016)$和$\prod\limits_{k=1}^{2018}x_k=1$证明:$x_{1009}x_{1010}\le1.$ 证明:事实上,由$x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2}$易知道,下标为奇数的项同号,下标为偶数的项同号.我们不妨考虑$x_k>0,(k=1,2,\cdots,2018)$(若都为负数只需每一项…

设无穷非负数列$\{a_n\}$满足$a_n+a_{n+2}\ge2 a_{n+1},\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1$,证明:$0\le a_n-a_{n+1}\le\dfrac{2}{n(n+1)}$ 证明:由题意$0\le a_n\le\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1$又由于$1\ge a_{m}-a_n\ge(m-n)(a_{n+1}-a_n)$(凸数列性质,有定义易得)故当$m>n$时,$a_{n+1}-a_n\le \dfrac…

1.首先下载GeoIP的IP库.参考<利用GeoIP数据库及API进行地理定位查询>.下载后解压,得到一个GeoIP.dat文件 2.新建一个文件geoip.inc.内容为 <?php /* -*- Mode: C; indent-tabs-mode: t; c-basic-offset: 2; tab-width: 2 -*- */ /* geoip.inc * * Copyright (C) 2007 MaxMind LLC * * This library is free soft…

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且\begin{equation*} x_{n+1}= \left\{ \begin{aligned}x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}\end{aligned} \right.\end{equation*}证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$ 证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$若$…

(2016清华自招领军计划37题改编) 设数列$\{a_n\}$满足$a_1=5,a_2=13,a_{n+2}=\dfrac{a^2_{n+1}+6^n}{a_n}$则下面不正确的是(      )A.$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ B.$\{a_n\}$中的项都是整数 C.$a_n>4^n$ D.$\{a_n\}$中与2015最接近的项为$a_7$ 答案:C 提示:$a_{n+3}a_{n+1}-a_{n+2}^2=6^{n+1}=6(a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2)…

(2017浙江省数学竞赛) 设数列$\{a_n\}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in N^+$证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后$\{a_n\}$为周期数列. 分析:若$a_1\in Q$由$|a_{n+1}-2a_n|=2$知道$a_n\in Q$. 设$a_n=\dfrac{q}{p},(p,q)=1$则$a_{n+1}=2a_n\pm2=\dfrac{2q\pm2p}{p}$故$a_n,a_{n+1}$ 在不约分的情况下分母相同.设$a_1=\d…

已知方程$x^3-x^2-x+1=0$,的三根根为$a,b,c$,若$k_n=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}+\dfrac{b^n-c^n}{b-c}+\dfrac{c^n-a^n}{c-a}$ 证明:$\{k_n\}$为整数数列. 提示:注意到$x^3=x^2+x+1$故 $a^{n+1}=a^n+a^{n-1}+a^{n-2}$$b^{n+1}=b^n+b^{n-1}+b^{n-2}$$c^{n+1}=c^n+c^{n-1}+c^{n-2}$从而可得$k^{n+1}=k^n+k^{…

(清华2017.4.29标准学术能力测试7) 已知数列$\{x_n\}$,其中$x_1=a$,$x_2=b$,$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$($a,b$是正整数),若$2008$为数列中的某一项,则$a+b$可能的取值有(   ) A.8    B.9     C.10     D.11 答案:A和B  $(a,b)=(7,1)\vee (1,8)$…

已知$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_2=2,\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{a_{n+1}^2+1}{a_n^2+1}$, 求$[a_{2017}]$_____ 解:容易用累乘法得到$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n},n\in N^*,$两边平方得 $a_{n+1}^2=a_n^2+2+\dfrac{1}{a_n^2},$于是$a_{n+1}^2-a_{n}^2\ge2,$从而$a_{n+1}^2\ge2n+1,$即$a_{n+1}\ge\sq…

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求证:$S_n>n-\dfrac{5}{2}$ 证明:显然$a_n\in(0,1)$故由约旦不等式: $a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right)\ge\dfrac{2}{\pi}\cdot(\dfrac{\pi}{2}a_n)=a_n$, 即$a_n$单调递…