Prufer序列 在一棵n个节点带标号树中,我们认为度数为1的点为叶子.n个点的树的Prufer序列是经过下面流程得到的一个长度为n-2的序列. 1.若当前树中只剩下两个点,退出,否则执行2. 2.找到树中编号最小的节点,将与它相连的那个点的编号加入Prufer序列的末尾,并将这个叶子删除.返回1. 显然,每棵树都唯一对应一个Prufer序列,而每个Prufer序列也唯一对应一棵树.可以通过一下流程得到这棵树. 1.令A={1,2,...,n},不断重复2直到Prufer序列为空. 2.找到A中…

\(Prufer\)序列 在一棵\(n\)个点带标号无根树里,我们定义这棵树的\(Prufer\)序列为执行以下操作后得到的序列 1.若当前树中只剩下两个节点,退出,否则执行\(2\) 2.令\(u\)为树中编号最小的叶子节点,记\(v\)为唯一与\(u\)有边相连的节点,把\(u\)删去,并将\(v\)加入到序列的末尾,重复\(1\) 显然,得到的\(Prufer\)序列是一个长度为\(n-2\)的序列 易证每一棵\(n\)个节点的有标号无根树都唯一对应一个长度为\(n-2\)的\(Prufe…

做这题的时候发现题解里有提到\(generalizations\ of\ Cayley's\ formula\)的,当场懵逼,Wikipedia里也就带到了一下,没有解释怎么来的,然后下面贴了篇论文. 大概就是\(n\)个点\(k\)个联通块的森林,\(1,2,\cdots,k\)属于不同的联通块,这样不同的方案数共有\(k\cdot n^{n-k-1}\)种. 我自己用\(Prüfer\)序列脑补了半天没搞懂怎么来的,始终觉得感性理解是\(n^{n-k}\),然后就去看了下那个证明. 用\(F…

题面 传送门 前置芝士 Prufer codes与Generalized Cayley's Formula 题解 不行了脑子已经咕咕了连这么简单的数数题都不会了-- 首先这两个特殊点到底是啥并没有影响,我们假设它们为\(1,2\)好了 首先,我们需要枚举\(1,2\)之间的边数\(i\) 我们需要考虑这中间的\(i-1\)个点是哪些点,而且它们的顺序对答案有影响,方案数乘上\(A_{n-2}^{i-1}\) 这\(i\)条边的的和要为\(m\),根据隔板法,方案数要乘上\({m-1\choose…

Codeforces Round #539 div2 abstract I 离散化三连 sort(pos.begin(), pos.end()); pos.erase(unique(pos.begin(), pos.end()), pos.end());if (pos.size() == 0) pos.push_back(0);int id = lower_bound (pos.begin(), pos.end(), q[i].time) - pos.begin(); II java输入输出带模…

背景(在codeforces 917D 报废后,看题解时听闻了这两个玩意儿.实际上917D与之“木有关西”,也可以认为是利用了prufer的一些思路.) 一棵标号树的Pufer编码规则如下:找到标号最小的叶子节点,输出与它相邻的节点到prufer 序列, 将该叶子节点删去,反复操作,直至剩余2个节点. 因为有n-2位,每位可以等于1,2,……,n,所以对应着有nn-2种生成树. 即Cayley定理(在组合数学中的应用):有n个标志节点的树的数目等于nn-2.(在一个n阶完全图的所有生成树的数量为…

BZOJ1430:运用Cayley定理解决树的形态统计问题 由Prufer编码可以引申出来一个定理:Cayley 内容是不同的n结点标号的树的数量为n^(n-2) 换一种说法就是一棵无根树,当知道结点总数的时候,其最多可能有n^(n-2)种形态 这只是形态而已 对于BZOJ1430这道题 题目的打架关系可以用无根树来描述 除了形态之外,还要考虑打架的顺序,一共(n-1)!种 乘起来即可 #include<cstdio> ; int n; ; int main() { scanf("%…

先安利一发.让我秒懂.. 第一次讲这个是在寒假...然而当时秦神太巨了导致我这个蒟蒻自闭+颓废...早就忘了这个东西了... 结果今天老师留的题中有两道这种的:Luogu P4981 P4430 然后决定了解一下... 一.Prufer序列 Prufer序列,可以用来解一些关于无根树计数的问题. Prufer序列是一种无根树的编码表示,对于一棵n个节点带编号的无根树,对应唯一一串长度为n-1的Prufer编码,这性质很好. 1.无根树转化为Prufer序列 首先定义无根树中度数为1的节点是叶子节…

题意 n个点问有多少种有顺序的连接方法把这些点连成一棵树. (n<=106) 题解 了解有关prufer编码与Cayley定理的知识. 可知带标号的无根树有nn-2种.然后n-1条边有(n-1)!的先后连接顺序. 所以答案为nn-2(n-1)! #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using nam…

原文出处:https://www.cnblogs.com/dirge/p/5503289.html 树的计数 + prufer序列与Cayley公式 学习笔记(转载) 首先是 Martrix67 的博文:http://www.matrix67.com/blog/archives/682 然后是morejarphone同学的博文:http://blog.csdn.net/morejarphone/article/details/50677172 因为是偶然翻了他的这篇博文,然后就秒会了. pruf…