定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.…

定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法. 微积分基本定理: 能够看到,正是基于这样一个基本定理,我们才能够找到积分的计算方法,从这个角度就可以充分的理解为什么求积分的过程实际上是一个求“反导数”(求导的逆运算)的过程了.…

这一章节我们开始对多重积分的研究. 在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可.其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解.随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积. 如下几图使得这个过程更加的直观. Sp又叫做,f(x…

点积.向量夹角: 无论对于空间向量还是平面向量,我们所熟知的是:给出任意两个向量,我们都能够根据公式计算它们的夹角,但是这个夹角必须是将两个向量的起点重合后所夹成的小于等于π的角,可是,这是为什么呢? 它其实来源于如下的定理(这里的定理和证明过程以三维向量为例,对于二维向量,可做完全一致的推导): 证明: 考虑在如下的一个三角形中. 通过这个定理的证明过程就能够理解:为什么我们求向量夹角用点积:两个向量之间的点积为什么等于两个向量模长再乘以夹角的余弦值:为什么我们求出来的角是起点重合的两个向量夹…

极坐标系下的面积: 在直角坐标系下一样,这里在极坐标系下,我们面临一个同样的问题:如何求解一个曲线围成的面积?虽然两种情况本质上是一样的,但是还是存在一些细小的区别. 在直角坐标系下中,我们是讨论一条曲线和x轴围成的封闭的曲边梯形的面积.而极坐标系下,我们讨论一条曲线的两个端点与极坐标原点的线段加上该曲线连成的图形的面积. 如下图所示. 笛卡尔系下我们求曲边梯形的面积是用小矩形的面积逼近 而在极坐标系下我们用小扇形的面积进行逼近 极坐标系下曲线的长度: 这里结合之前我们在平面笛卡尔系得到结论:…

写在前面:写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦. 曾记否,高中所学虚数和复平面的概念,如此虚无的概念到了大学一门叫<模拟电子技术>的课程中居然明目张胆的开始进行计算! 曾记否,高中的指对运算,他们老师由于不想说话就向我们扔了一个自然对数e! 其实很多人觉得数学抽象.晦涩而且无章可循,其实这都是假想,如果真的有这种感觉,很大程度上是教科书在编排顺序上有瑕疵.数学本身是语言,描述自然的语言,因此在每个概念.公式的背后,往往都需要(或者说必然)对应着现实模型,因此在学习新的概念的时候,考察它的现实意…

基于基本的极限分析方法(诸多的无穷小以及洛必达法则),我们能够得到推导出一些表面上看不是那么显然的式子,这些极限恒等式往往会在其他的推导过程中用到,其中一个例子就是概率论中的极限定理那部分知识.…

偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广. 关于定义域的开域.闭域的推广: 其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周,只不过这里用了更加规范的数学语言. 二次函数的图形.层曲线(等值曲线): 一元函数的定义域在x轴上,函数图像在xoy面上:二元函数的定义域在xoy面上,函数图像在空间当中,而三元函数的定义域对应着空间的集合体.这里面对二元.三元函数我们有一个最基本的问题,就是勾勒出它们的大致图像,虽然目前有数学软件可以较为快速准确的描绘出函数的图像,但是掌握一定的确定函数图像…

所谓微分法其实就是我们所熟悉的导数,它是一种无限分割的方法,同积分法一样,它们是处理曲线和曲面的有利工具,也是一门很伟大的自然语言.微分方程就是一种名副其实的描述自然的语言. 同样这里如果取单侧导数,那么能够证明该点单侧具有连续型.通过原命题与逆否命题的等价性我们也能够看到,函数在某处不连续,在该处必然不可导.…

平面曲线的长度: 积分的重要作用体现在处理曲线和曲面. 在这里我们讨论平面中一条用参数形式表达的曲线:x=f(t),y=g(t),a≤t≤b. 如图. y=f(x)形式的弧长计算: 之前我们讨论过平面笛卡尔系下参数形式的弧长公式,现在对于一般的y=f(x)的形式,我们可以将其等价转化成参数形式: 令x=t,y=f(t),a≤t≤b. 然后再将参数形式带入之前讨论参数形式得到的结论,我们就能够得到如下的定义:…