$n \leq 1e9,m \leq 1e9,k \leq 2000$,求$k$进制下$\frac{x}{y}$有多少种不同的纯循环数取值,$1 \leq x \leq n,1 \leq y \leq m$.纯循环数是指小数点后直接就开始循环,整数也算. 与上个题的丑陋相比这个题不知道美到哪里去..虽然自己没想出来. 提示说了,出现相同余数时有纯循环.假设循环节是$l$,那么$xk^l$和$x$除$y$会得到相同余数--同余!$xk^l \equiv x (\mod y)$.由于题目要互不相同的…

题解 我们要求的其实是这个东西= = \(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}[(i,j) == 1][(j,k) == 1]\) 然后变一下形 \(\sum_{j = 1}^{n}[(j,k) == 1]\sum_{i = 1}^{n}[(i,j) == 1]\) \(\sum_{j = 1}^{n}[(j,k) == 1]\sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i,j}\mu(d)\) \(\sum_{j = 1}^{n}[(j,k) == 1]\sum_…

Portal Description 给出\(n,m(n,m\leq10^9)\)和\(k(k\leq2000)\),求在\(k\)进制下,有多少个数值不同的纯循环小数可以表示成\(\dfrac{x}{y}\)的形式,其中\(x\in[1,n],y\in[1,m]\).一个数是纯循环小数当且仅当它能写成\(a.\dot{c_1} c_2 c_3 \ldots c_{p-1}\dot{c_p}\)的形式. Solution 原题相当于求有多少个数对\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)=1\)…

「NOI2016」循环之美 对于小数\(\frac{a}{b}\),如果它在\(k\)进制下被统计,需要满足要求并且不重复. 不重复我们确保这个分数是最简分数即\((a,b)=1\) 满足要求需要满足第一位的余数在后面仍然出现,第一位余数是\(a\bmod b\),后面第\(x\)位的余数实际上是\(a\times k^x\bmod b\) 所以我们需要满足 \[ a\equiv a \times k^x\pmod b \] 有解 因为\((a,b)=1\),所以 \[ k^x\equiv 1\…

题目传送门:LOJ #2085. 两个月之前做的傻题,还是有必要补一下博客. 题意简述: 求分子为不超过 \(n\) 的正整数,分母为不超过 \(m\) 的正整数的所有互不相等的分数中,有多少在 \(k\) 进制下的纯循环小数. 题解: 设分子为 \(x\),分母为 \(y\). 首先,因为要求的是互不相等的分数,取最简分数,即 \(x\perp y\). 其次,要求是纯循环小数,考虑竖式除法的过程,可以发现 \(\displaystyle\frac{x}{y}\) 在 \(k\) 进制下纯循环…

P1587 [NOI2016]循环之美 题目描述 牛牛是一个热爱算法设计的高中生.在他设计的算法中,常常会使用带小数的数进行计算.牛牛认为,如果在 $k$ 进制下,一个数的小数部分是纯循环的,那么它就是美的.现在,牛牛想知道:对于已知的十进制数 $n$ 和 $m$,在 $k$ 进制下,有多少个数值上互不相等的纯循环小数,可以用分数 $\frac xy$ 表示,其中 $1≤x≤n,1≤y≤m$,且 $x,y$是整数.一个数是纯循环的,当且仅当其可以写成以下形式: $a.\dot{c_1} c_2…

传送门. 题解 感觉这题最难的是第一个结论. x/y首先要互质,然后如果在10进制是纯循环小数,不难想到y不是2.5的倍数就好了. 因为十进制下除以2和5是除得尽的. 必然会多出来的什么东西. 如果是k进制,可以类比得gcd(y,k)=1. 证明: 假设纯循环的位数是l 则\(x*k^l\equiv x(mod~y)\) \(k^l\equiv 1(mod~y)\) 要存在l的话,就必须有\(gcd(k,y)=1\),反过来一样. 反演: \(Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}…

题目描述 本题译自 eJOI2018 Problem F「Cycle Sort」 给定一个长为 \(n\) 的数列 \(\{a_i\}\) ,你可以多次进行如下操作: 选定 \(k\) 个不同的下标 \(i_1, i_2, \cdots, i_k\)(其中 \(1 \le i_j \le n\) ),然后将 \(a_{i_1}\) 移动到下标 \(i_2\) 处,将 \(a_{i_2}\) 移动到下标 \(i_3\) 处,--,将 \(a_{i_{k-1}}\) 移动到下标 \(i_{k}\)…

$n \leq 500000$个区间,从中挑出一些,使得至少有一个点被$m$个选中区间包含,且选中区间长度的极差最小. 区间题死脑筋晚期:把区间按左端点排序,然后右端点用个优先队列来弹,然后需要维护下标相差$m$的数字差的最值,可以在$n^2$的时间完美拿到签到题的60分. 求极差嘛,就是关注最大最小,不如把区间按长度升序,这样枚举两个区间时,可以把大小在他们之间的都加进线段树观察是否合法.然鹅,可以发现较长区间R往后枚举越来越长后,最优的较短区间L不会变小,也就是满足决策单调性,可以双指针搞定…

$n,m \leq 1e9$,$n*m$的网格中有$c \leq 1e5$个是黑的,其他是白的.问:使至少两个白的不连通,最少需要再把几个白的涂黑. 可以发现答案是-1,0,1,2啦.-1要么没白的,要么一个白的,要么两个相邻白的.如果是两个不相邻白的答案就是0,这些可以特判掉. 其他的情况,可以建个图判连通.判割点.但网格太大了,可以发现连通的话只要关心所有黑点的周围八个白点之间的连通性即可,于是就记下这些点,离散化完分别按$x$和$y$排序来连边.但这样仍不能判割点,比如 0 0 0 0 0…