[LOJ6356]四色灯 题目大意: 有\(n(n\le10^9)\)个编号\(1\sim n\)的格子和\(m(m\le20)\)个按钮.每个格子有一个初始为\(0\)的数,每个按钮有一个数字\(a_i\),表示若这个按钮被选中,编号为\(a_i\)倍数的格子上的数字\(+1\). 现在随机选取一个按钮的集合,求数值为\(4\)的倍数的格子的期望个数. 思路: 用\(f(S)\)表示\(1\sim n\)中,编号为\(\operatorname{lcm}(S)\)的倍数的格子数. \(g(S)…

纪念第一次所有的解析全写在代码里面 QWQ 这里就简单说几句了 首先一个灯有贡献,当且仅当他被按了\(4k\)次. 那么我们定义\(f(S)\)表示\([1,n]\)中有多少个数\(x\)是集合\(S\)中元素的公倍数 \[f(S) = \frac{n}{lcm_{x\in S} x} \] 这里需要注意的是,求\(lcm\)的时候,要两两合并,不能用整体的乘积除以\(gcd\) 但是很容易发现,要是这样计算的,会有重复的情况别包含进去,就比如说较小的集合公倍数,一定会包含它超集的公倍数,所以的…

A Simple Chess 题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5794 Description There is a n×m board, a chess want to go to the position (n,m) from the position (1,1). The chess is able to go to position (x2,y2) from the position (x1,y1), only and if…

给一个n*n的矩阵,保证:(1)每行都是一个排列 (2)每行每个位置和上一行对应位置不同.求这个矩阵在所有合法矩阵中字典序排第几.考虑类似数位DP的做法,枚举第几行开始不卡限制,那么显然之前的行都和题给矩阵相同,之后都是错排.现在要求的就是,当前行在所有与上一行不交的排列中字典序排第几.同样考虑数位DP,从后往前枚举到当前位开始不卡限制.用两个树状数组分别维护:(1)这一位之后的数组成的集合 (2)这一位之后当前行和上一行均有的数的集合.那么分当前这位是否使用上一行这一位之后存在的数讨论,现在要…

[BZOJ3622]已经没有什么好害怕的了 Description Input Output Sample Input 4 2 5 35 15 45 40 20 10 30 Sample Output 4 HINT 输入的2*n个数字保证全不相同. 还有输入应该是第二行是糖果,第三行是药片 题解:好吧这题不是神题,而是套路题,容斥+DP的套路在很多题中都用到过,不过我虽然知道套路,却被这题的第一步卡住了. 我们将两个序列从小到大排序. 好吧这步看起来可能很水,正常人看到无序的序列都会先想到排序,…

正解:容斥+$dp$ 解题报告: 传送门$QwQ$ $umm$虽然题目蛮简练的了但还是有点难理解,,,我再抽象一点儿,就说有$n$个点,点$i$和点$j$之间有$a_{i,j}$条无向边可以连,问有多少种方案可以连成一张联通图 显然考虑容斥呗?设$f_i$表示状态为$i$的点连成联通图的合法方案,$g_i$表示状态为$i$的点随便连边的所有方案 显然$g_i$可以先预处理出来?就等于$\prod_{u,v\in i}a_{u,v}$.然后$f_i$就等于$g_i$减去不合法的数量.不合法数量显然…

题目大意 定义一个序列的权值为:把所有相邻的相同的数合并为一个集合后,所有集合的大小的乘积. 特别的,第一个数和最后一个数是相邻的. 现在你有 \(n\) 种数,第 \(i\) 种有 \(c_i\) 个.求所有不同的序列的权值的和. \(n\leq 50,c_i\leq 100\) 题解 考虑第一个数和最后一个数不相邻时怎么做. 记 \(g_{i,j}\) 为出现了 \(i\) 次的数分成 \(j\) 个集合,所有集合大小的乘积的和. \[ g_{i,j}=\sum_{k=1}^ig_{i-k,…

传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3782 有部分分的传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4478 看到标题开始还以为是AHOI的小雪和小可可…… 题解:乍一看会40pts:测试点1.2:n,m<=1000的直接O(nm)DP:测试点3.4:没有障碍物直接C(n+m,n),然后p=1e6+3是质数可以直接取模. 想了几分钟会60pts:测试点5.6:模数可以拆成几个不超过1e…

题目链接 \(Description\) 给定\(n,k\),求 满足对于所有\(i\),\(|a_i-i|\neq k\)的排列的个数. \(2\leq n\leq 2000,\quad 1\leq k\leq n-1\). \(Solution\) 容斥.则\(Ans=\sum_{i=0}^n(-1)^ig(i)(n-i)!\),其中\(g(i)\)为至少有\(i\)个位置满足\(|a_i-i|=k\)的排列数. 考虑如何计算\(g(x)\).每个\(i\)向\(i+k\)和\(i-k\)连…

题目链接 \(Description\) 给定一棵\(n\)个点的树.将这\(n\)个点两两配对,并对每一对点的最短路径染色.求有多少种配对方案使得所有边都至少被染色一次. \(n\leq5000\). \(Solution\) 考虑容斥.令边集\(E\)的子集\(S\in E\),\(f(S)\)表示使得\(S\)中所有边都不被染色的配对方案数(其余边任意),则\(Ans=\sum_{S\in E}(-1)^{|S|}f(S)\). 如果确定边集\(S\),我们可以求\(f(S)\).设\(S…

题意:求有多少种方案,用多米诺骨牌覆盖一个\(n\times m\)的棋盘,满足任意一对相邻行和列都至少有一个骨牌横跨.对\(10^9+7\)取模. \(n,m \leq 16\) 首先,这个问题的约束比较复杂,直接dp需要较高的代价记录状态,不能通过本题. 然而,这个问题的约束可以被拆分为多个小约束(某条线被横跨),且小约束可以直接合并.这启发我们使用容斥. 这样,我们的dp计数就简化为了固定几条线不被跨越后任意覆盖.设\(f_k\)为恰有\(k\)条线不被跨越的方案数,\(g_k\)为我们计…

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4361 题意概述: 给出一个长度为N的序列A(A1,A2...AN).如果序列A不是非降的,你必须从中删去一个数,重复这一操作,直到A非降为止.求有多少种不同的操作方案,答案模10^9+7. N<=2000. 分析: 首先手算一下样例确定一下题意,不同的方案实际上就是删除数字的位置的不同排列. 当手算答案的时候可以发现我们可以把答案按照最终序列的长度分类.看题目的样子可以搜索但是怎么都弄…

给定两个数组a[n]与b[n](数全不相等),两两配对,求“a比b大”的数对比“b比a大”的数对个数多k的配对方案数. 据说做了这题就没什么题好害怕的了,但感觉实际上这是一个套路题,只是很难想到. 首先显然“a比b大”的个数是确定的,问题转化成求“a比b大”的数对个数为m的方案数. 不好算考虑容斥,总结下容斥的一些套路.(From ATP's Blog) 1.全部-至少一个+至少两个-…=一个也没有的 2.所有的-一个也没有的=至少有一个的 3.至少有k个的-C(k+1,k)* 至少有k+1个的…

4455: [Zjoi2016]小星星 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 707  Solved: 419[Submit][Status][Discuss] Description 小Y是一个心灵手巧的女孩子,她喜欢手工制作一些小饰品.她有n颗小星星,用m条彩色的细线串了起来,每条细 线连着两颗小星星.有一天她发现,她的饰品被破坏了,很多细线都被拆掉了.这个饰品只剩下了n?1条细线,但 通过这些细线,这颗小星星还是被串在一起,也就是这…

传送门 我永远讨厌\(dp.jpg\) 前置姿势 扩展\(Min-Max\)容斥 题解 看纳尔博客去→_→ 咱现在还没搞懂为啥初值要设为\(-1\)-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(…

思路 "恰k个"考虑求至少k.k+1--个容斥 题面说所有数字都不同,可以将所求转化为糖比药多的组数恰为\((n+k)/2\)的方案数 \(f[i][j]\)数组我觉得更好的理解方式是"前i个已经安排了j组糖大于药.别的先没管"的方案数 \(f[n][i]*(n-i)!\)即为把其它的安排了以后的方案数,但是这里面有重的 设\(g[i]\)为恰i个的方案数.\[g[i]=f[n][i]*(n-i)!-\sum_{j=i+1}^ng[j]*C_j^i\]要说为什么又去…

CodeForces 559C Gerald and Gia 大致题意:有一个 \(N\times M\) 的网格,其中有些格子是黑色的,现在需要求出从左上角到右下角不经过黑色格子的方案数(模 \(10^9+7\) ) \(solution:\) 首先 \(orz\) 鸽王,看一眼就说:"嗯?这不就是一道格路+容斥的小水题吗?",然后秒切大火题. 这道题主要考验我们如何设置动态规划的状态以保证不重不漏的算好所有情况.上一次我发这类"找基准点"的DP题解应该是POJ…

洛谷链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3349 题意相当于给一棵树重新赋予彼此不同的编号,要求树上相邻的两个节点在给定的另外一个无向图中也存在边相连. n很小,但枚举阶乘肯定是会爆炸的. 发现编号彼此不同对统计答案的影响太大了,我们可以尝试先让编号可以重复,但是限制可以选用的编号集,即O(2^n)枚举n个数的子集,然后容斥一下答案. 可选用的编号集合确定了,编号还可以重复,接下来直接跑树形dp就可以了.f(u)(j)存的是u节点映射向j,子树内的…

我们先用树形DP,求出选取集合S中的点,满足连通性的但是标号可重的方案数,贡献给F(i)(1\(\leq\)i\(\leq\)\(\mid S\mid\)),也就是我们要处理出F(i)代表取至多i个点的方案数. 然后容斥一下就求出恰好选i个点的方案数. 卡一下常就能过了. #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm>…

JZOJ5787轨道 Description 2018年1月31日,152年一遇的超级大月全食在中国高空出现(没看到的朋友真是可惜),小B看到月食,便对月球的轨道产生了兴趣.他上网查重力加速度的公式,公式如下:…

题目描述 小 Y 是一个心灵手巧的女孩子,她喜欢手工制作一些小饰品.她有\(n\)颗小星星,用 \(m\)条彩色的细线串了起来,每条细线连着两颗小星星.有一天她发现,她的饰品被破坏了,很多细线都被拆掉了.这个饰品只剩下了\(n-1\)条细线,但通过这些细线,这颗小星星还是被串在一起,也就是这些小星星通过这些细线形成了树.小 Y 找到了这个饰品的设计图纸,她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星.如果现在饰品中两颗小星星有细线相连,那么要求对应的小星星原来的图纸上也有细线相连.小 Y…

题目传送门 https://www.luogu.org/problem/P4707 题解 很容易想到这是一个 MinMax 容斥的题目. 设每一个物品被收集的时间为 \(t_i\),那么集齐 \(k\) 个物品所需时间就是 \(\{t_i\}\) 中的第 \(n-k+1\) 大的时间. 所以我们不妨把 \(k\) 看成原来的 \(n-k+1\),这个 \(k \leq 11\). 然后根据扩展 MinMax 容斥 \[ \max_k (S) = \sum_{T \subseteq S, |T|…

传送门 解题思路 暴力容斥复杂度太高,无法接受,考虑用\(dp\).设\(f(i)\)表示从左上角开始不经过前面的阻断点,只经过\(i\)的阻断点.那么可以考虑容斥,用经过\(i\)的总方案数减去前面的阻断点到它的方案数,那么转移方程\[f(i)=C(x_i+y_i-2,x_i)-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f(j)C(x_i-x_j,y_i-y_j)\] 时间复杂度\(O(n^2)\) 代码 #include<iostream> #include<cstdio>…

LINK:牛牛与序列 (牛客div1的E题怎么这么水... 还没D难. 定义一个序列合法 当且仅当存在一个位置i满足 $a_i>a_,a_j<a_$且对于所有的位置i,$1 \leq a_i\leq k$ 人话解释:一个合法序列 每个数字都在1~k之间 且有两个相邻数字是递增关系两个相邻数字是递减关系. 发现我们枚举某两个位置递增递减再进行计数会重复 而且很难减掉重复方案.这个不能代表元容斥. 考虑总方案-不合法方案.发现不合法方案就两种不增,不降. 显然不增翻转一下就是不降 考虑求出不增的方…

求出期望 所有情况很好搞 C(n+m-2,n-1). 也就是说求出所有情况的和乘以上面总方案的逆元即可. 可以发现所有情况和经过多少个障碍点有关 和所处位置无关. 简单的设f[i]表示从1,1到n,m经过i个障碍点的方案数. 可以发现求出这个数组就得到了答案. 发现每过一个障碍点 体力就会除以2 所以过掉log个障碍点 以后体力都是1. 我们只需要求出log个取值即可. 由于障碍点之间是单向关系 所以可以从左到右dp f[i][j]表示前i个点经过了j个障碍点的方案数. 转移?f[k][j-1]…

ARC115 E AtCoder Problem Statement Given is a sequence of \(N\) integers \(A_1\),\(A_2\),...,\(A_N\). Print the number, modulo \(998244353\), of sequence of \(N\) integers \(X_1\),\(X_2\),...,\(X_N\) satisfying all of the following conditions: \(1 \l…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4859 题目大意 两个长度为\(n\)的序列\(a,b\)两两匹配,求\(a_i>b_i\)的组数比\(a_i<b_i\)的组数多\(k\)的方案数. 保证输入数字两两不同 解题思路 其实就是求恰好有\(\frac{n+k}{2}\)种\(a_i>b_i\)的匹配方案. 先设\(f_{i,j}\)表示到\(a\)的第\(i\)个,已经选择了\(j\)组的方案.转移起来比较麻烦,我们不知道\(b\)中选了…

正题 题目链接:https://atcoder.jp/contests/arc115/tasks/arc115_d 题目大意 \(n\)个数字的序列\(x\),第\(x_i\in [1,A_i]\cap Z\).要求相邻的不同,求方案数. \(1\leq n\leq 5\times 10^5,1\leq A_i\leq 10^9\) 解题思路 考虑容斥,如果有\(k\)个相邻的相等那么容斥系数就是\((-1)^k\).那我们把\(n\)分为若干个连续的相同段,然后每一段的容斥系数分开算就好了,这…

2655: calc Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 322  Solved: 197[Submit][Status][Discuss] Description 一个序列a1,...,an是合法的,当且仅当: 长度为给定的n. a1,...,an都是[1,A]中的整数. a1,...,an互不相等. 一个序列的值定义为它里面所有数的乘积,即a1a2...an. 求所有不同合法序列的值的和. 两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样.…

传送门 题意简述:你要从(0,0)(0,0)(0,0)走到(ex,ey)(ex,ey)(ex,ey),每次可以从(x,y)(x,y)(x,y)走到(x+ax,y+ay)(x+ax,y+ay)(x+ax,y+ay)或者(x+bx,y+by)(x+bx,y+by)(x+bx,y+by),其中有nnn个障碍点问方案数,所有出现的值的绝对值≤500\le500≤500 思路:从(0,0)(0,0)(0,0)到每个障碍点需要用几次(x+ax,y+ay)(x+ax,y+ay)(x+ax,y+ay)和几次(x…