[luogu3455][POI2007]ZAP-Queries【莫比乌斯反演】

题目描述 FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. 分析很明显的一道莫比乌斯反演,但是还没有写过学习笔记,之后一定补起来(flag). \[f(k)=\sum^a_{i=1}\sum^b_{j=1}[gcd(i,j)=k]\] \[F(k) = \sum_{n|k}f(k)= \lfloor \frac{a}{n} \rfloor \lfloo…

【BZOJ】1101 [POI2007]Zap（莫比乌斯反演）

题目传送门:QWQ 分析莫比乌斯反演. 还不是很熟练qwq 代码 //bzoj1101 //给出a,b,d,询问有多少对二元组(x,y)满足gcd(x,y)=d.x<=a,y<=b #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; int n, p[maxn]; int mu(int m) { , k=m; ;i*i<=k;i++) { if(!(m%i)) { tmp++; m/=i; ; } } ) tmp++; )?-:…

BZOJ1101 POI2007 Zap 【莫比乌斯反演】

BZOJ1101 POI2007 Zap Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. Input 第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问.(1<=n<= 50000)接下来n行,每行表示一个询问,每行三个正整数,分别为a,b,d.(1<=d<=a,b<=50000) Output 对于每组询…

【BZOJ1101】[POI2007] Zap（莫比乌斯反演）

点此看题面大致题意: 求$\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M[gcd(x,y)==d]$. 一道类似的题目推荐先去做一下这道题:[洛谷2257]YY的GCD,来初步了解一下莫比乌斯反演. 再来看这题,就非常简单了. 一些定义按照上面提到的那题的思路,首先,我们可以定义$f(d)$和$F(d)$如下: \[f(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)==d]\] \[F(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[d|gc…

BZOJ 1101 [POI2007]Zap（莫比乌斯反演）

[题目链接] http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 [题目大意] 求[1,n][1,m]内gcd=k的情况 [题解] 考虑求[1,n][1,m]里gcd=k 等价于[1,n/k][1,m/k]里gcd=1 考虑求[1,n][1,m]里gcd=1 结果为sum(miu[d]*(n/d)*(m/d)) 预处理O(n^1.5) 由于n/d只有sqrt(n)种取值,所以可以预处理出miu[]的前缀和询问时分段求和 [代码] #incl…

☆ [POI2007] ZAP-Queries 「莫比乌斯反演」

题目类型:莫比乌斯反演传送门:>Here< 题意:求有多少对正整数对$(a,b)$,满足$0<a<A$,$0<b<B$,$gcd(a,b)=d$ 解题思路学了莫比乌斯反演,就以这道题来介绍一下莫比乌斯反演的题的应用(下文中,对数表示在规定范围内满足特定条件的数对数量,不是$log$的那个对数) 一般碰到有关$gcd$的题,一般地,设$f(n)$表示$gcd=n$的对数,$F(n)$表示$n|gcd$的对数根据定义,满足\[F…

洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries （莫比乌斯反演）

题意:求$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==d]$(1<=a,b,d<=50000). 很套路的莫比乌斯反演. $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)==1]$ 令f(n)为gcd是n的个数,g(n)为gcd是n或n的倍数的个数.…

【BZOJ】1101: [POI2007]Zap（莫比乌斯+分块）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 无限膜拜数论和分块orz 首先莫比乌斯函数的一些性质可以看<初等数论>或<具体数学>或贾志鹏的<线性筛法和积性函数> 我写一些笔记啥的吧.. 首先莫比乌斯函数的定义及一些性质(免去证明): $$\mu (n) =\begin{cases}1 & n=1\\(-1)^k & n=p_1p_2 \cdots p_k,质因子指数均为1且互不相同 \\0 &…

[POI2007]ZAP-Queries （莫比乌斯反演+整除分块）

[POI2007]ZAP-Queries $solution:$ 唉,数论实在有点烂了,昨天还会的,今天就不会了,周末刚证明的,今天全忘了,还不如早点写好题解. 这题首先我们可以列出来答案就是: $ans=\sum_{i=1}^{a}{\sum_{j=1}^{b}{[gcd(i,j)==d]}}$ 我们发现后面那个东西(只有$gcd(i,j)==d$ 时才为一)跟莫比乌斯很像,莫比乌斯是(只有$n==$1 才为一),所以我们再尝试转化一下(把d转化成1): \(ans=\sum_{i…

洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries（莫比乌斯反演）

传送门设$$f(k)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=k]$$ $$g(n)=\sum_{n|k}f(k)=\lfloor\frac{a}{n}\rfloor\lfloor\frac{b}{n}\rfloor$$ 根据莫比乌斯反演定理可以推出$$f(n)=\sum_{n|k}\mu(\lfloor\frac{k}{n}\rfloor)g(k)$$ 那么可以发现$ans=f(d)$ 然后用推出来的结论带进去 $$ans=\sum_{d|k}\mu(\l…

P3455 [POI2007]ZAP-Queries（莫比乌斯反演）

思路和YY的GCD类似但是更加简单了类似的推一波公式即可 \[ F(n)=\sum_{n|d}f(d) \] \[ f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \] \[ F(d)=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\times\lfloor\frac{m}{d}\rfloor \] \[ f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})\times\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\times\lfloor\frac…

Bzoj1101 Zap（莫比乌斯反演）

题面 Bzoj 题解先化式子 $$ \sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b\mathbf f[gcd(x,y)==d] \\ = \sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b\sum_{d\mid x,d\mid y}\mathbf f[gcd(x,y)==1] \\ = \sum_{x=1}^{\lfloor \frac ad\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor \frac bd\rfloor}\mathbf f[gcd(x,y)==1] $$ 然后套路就类似…

【BZOJ1101】Zap（莫比乌斯反演）

题意:多组询问,对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d. T,a,b,d,x,y<=50000 思路:下底函数分块+积性函数前缀和 #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<iostream> #include<algorithm> #include…

P3455 [POI2007]ZAP-Queries(莫比乌斯反演)

题目 P3455 [POI2007]ZAP-Queries 解析莫比乌斯反演. 给定$n$,$m$,$d$,求\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]\] 那我们设\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=x]\] 设 \[\begin{aligned} F(x)=& \sum_{x\mid i}f(k) \\Q =&\sum_{x\mid k}\sum_{i=1}^{n}\sum_{…

【Luogu3455】【POI2007】ZAP-Queries（莫比乌斯反演）

[Luogu3455][POI2007]ZAP-Queries(莫比乌斯反演) 题面题目描述 FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. 输入输出格式输入格式: The first line of the standard input contains one integer nn (1\le n\le 50 0001≤n≤50 000),de…

BZOJ1101: [POI2007]Zap(莫比乌斯反演)

1101: [POI2007]Zap Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 2951 Solved: 1293[Submit][Status][Discuss] Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. Input 第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问.(1…

莫比乌斯反演学习笔记+[POI2007]Zap（洛谷P3455，BZOJ1101）

先看一道例题:[POI2007]Zap BZOJ 洛谷题目大意:$T$ 组数据,求 $\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}[gcd(i,j)=k]$ $1\leq T\leq 50000,1\leq k\leq n,m\leq 50000$ 暴力做法 $O(Tnm\log\max(n,m))$ 不用说了,那有没有什么更好的做法呢? 我们定义一种函数叫莫比乌斯函数 $\mu$,它的定义是: 当 $n=1$ 时,$\mu(n)=1$ 当 $n$ 可以分解成 $p_1p_2...p_k$…

Bzoj1101: [POI2007]Zap 莫比乌斯反演+整除分块

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 莫比乌斯反演 1101: [POI2007]Zap 设 $f(i)$ 表示 $(x,y)$ $x\in [1,a],y\in [1,b]$ 满足 $gcd(x,y)=i$ 的对数那么答案就是 $f(d)$ 构造一个函数 $g(i)$ 表示 $(x,y)$ $x\in [1,a],y\in [1,b]$ 满足 $gcd(x,y)|i$ 的对数于是…

1101: [POI2007]Zap(莫比乌斯反演)

1101: [POI2007]Zap Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a ,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. Input 第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问.(1<=n<= 50000)接下来n行,每行表示一个询问,每行三个正整数,分别为a,b,d.…

BZOJ 1101: [POI2007]Zap( 莫比乌斯反演 )

求 answer = ∑ [gcd(x, y) = d] (1 <= x <= a, 1 <= y <= b) . 令a' = a / d, b' = b / d, 化简一下得到: answer = Σ μ(t)*⌊a'/t⌋*⌊b'/t⌋ ⌊a'/t⌋相等的是一段连续的区间, ⌊b'/t⌋同理, 而且数量是根号级别的所以搞出μ的前缀和然后分块处理. ----------------------------------------------------------------…

【莫比乌斯反演】BZOJ1101 [POI2007]zap

Description 回答T组询问,有多少组gcd(x,y)=d,x<=a, y<=b.T, a, b<=4e5. Solution 显然对于gcd=d的,应该把a/d b/d,然后转为gcd=1计算计算用莫比乌斯反演相信大家都会关键是有T组询问n^2会T 于是有这样一个优化可以做到每次sqrt(n) 每一次是ret+=mu[i]*(n/i)*(m/i) 可是除法向下取整所以会导致很多i的(n/i)*(m/i)一样具体来说,向下取整得到的结果一定是约数所以对于(n/i)最多2sq…

[BZOJ1101&BZOJ2301][POI2007]Zap [HAOI2011]Problem b|莫比乌斯反演

对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d. 我们可以令F[n]=使得n|(x,y)的数对(x,y)个数这个很容易得到,只需要让x,y中都有n这个因子就好了,也就是[a/n]*[b/n]个数对(向下取整) 然后设题中所要求的为f[n],很容易得知,F[n]=∑f[d](n|d) 莫比乌斯反演可以得到f[n]=∑μ(d/n)F[d](n|d) 这样是O(n),然而数据范围5*10^4显然不能通过 f[n]=∑μ(d/n)[a/d][b/d]…

luogu3455 [POI2007]ZAP-Queries 简单的莫比乌斯反演

link ms是莫比乌斯反演里最水的题... 题意:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d. 多组询问, T<=50000,d,a,b<=50000 稍微推下shizi $\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\gcd(i,j)=d]$ $=\sum_{i=1}^{a/k}\sum_{j=1}^{b/k}[\gcd(i,j)=1]$ \(=\sum_{i=1}^{a/k}\sum_{j=1}^{b/k}\…

[POI2007] ZAP-Queries (莫比乌斯反演)

[POI2007] ZAP-Queries 题目描述 Byteasar the Cryptographer works on breaking the code of BSA (Byteotian Security Agency). He has alreadyfound out that whilst deciphering a message he will have to answer multiple queries of the form"for givenintegers aa, b…

【题解】Zap(莫比乌斯反演)

[题解]Zap(莫比乌斯反演) 裸题... 直接化吧 [P3455 POI2007]ZAP-Queries 所有除法默认向下取整 \[ \Sigma_{i=1}^x\Sigma_{j=1}^y[(i,j)=k] \\ =\Sigma_{i=1}^{x/k}\Sigma_{j=1}^{y/k}[(i,j)=1] \\ =\Sigma_{i=1}^{x/k}\Sigma_{j=1}^{y/k}\Sigma_{d|(i,j)}\mu(d) \\ =\Sigma_{d=1}^{min(x,y)}\Sig…

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