原题题面 题目大意:求\(\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}i^{k}\). 我们根据套路\(n^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{n}^{i}i!S_2(k,i)\).\(S_2\)表示第二类斯特林数. \[ 原式=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\sum_{j=0}^{k}C_{i}^{j}\cdot j!S_2(k,j)\\ =\sum_{i=0}^{n}C_n^i\sum_{j=0}^k C_i^jj…

codeforces 932E Team Work 题意 给定 \(n(1e9)\).\(k(5000)\).求 \(\Sigma_{x=1}^{n}C_n^xx^k\). 题解 解法一 官方题解 的做法,网上有很多,就不写了. 解法二 从组合数学的角度入手. 参考博客 我们可以这样理解这个式子 \(\Sigma_{x=1}^{n}C_n^xx^k\) :有 \(n\) 种小球,从中选出 \(x\) 种,再选出 \(k\) 个小球,这 \(k\) 个小球只能来自选定的 \(x\) 种类别.求方案…

Codeforces 932E Team work You have a team of N people. For a particular task, you can pick any non-empty subset of people. The cost of having x people for the task is xk. Output the sum of costs over all non-empty subsets of people. Input Only line o…

Team Work 发现网上没有我这种写法.. i ^ k我们可以理解为对于每个子集我们k个for套在一起数有多少个. 那么我们问题就变成了 任意可重复位置的k个物品属于多少个子集. 然后我们枚举k个物品所占位置的个数 i , 然后需要计算有多少种方案能把k个不同物品放入i个桶中. 这个东西可以用dp[ i ][ j ] 表示 i 个物品放入 j 个桶中的方案数. dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ] * j + dp[ i - 1 ][ j - 1 ] * j 然后就…

传送门 组合数学套路题. 要求ans=∑i=0nCni∗ik,n≤1e9,k≤5000ans=\sum_{i=0}^n C_n^i*i^k,n\le 1e9,k\le 5000ans=∑i=0n​Cni​∗ik,n≤1e9,k≤5000 这道题需要用到一个组合数的公式:nk=∑i=0ns2{k,i}Anin^k=\sum_{i=0}^ns_2\{k,i\}A_n^ink=∑i=0n​s2​{k,i}Ani​ 证明可以用组合意义:相当于是把k个不同的球放入k个不同的盒子里(每个盒子个数任意)的方案…

Description 题库链接 求 \[\sum_{i=1}^n C(n,i)\times i^k\] \(1\leq n\leq 10^9, 1\leq k\leq 5000\) Solution [BZOJ 5093]图的价值的弱化版. 看公式推导可以戳链接. Code #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 5000+5, yzh = 1e9+7; int S[N][N], n, k, inv[N]; in…

目录 写在前面 一类反演问题 莫比乌斯反演 快速莫比乌斯变换(反演)与子集卷积 莫比乌斯变换(反演) 子集卷积 二项式反演 内容 证明 应用举例 另一形式 斯特林反演 第一类斯特林数 第二类斯特林数 反演公式 最值反演( \(\text{min-max}\) 容斥) 公式 证明 拉格朗日插值法 简介 求解 自然数的幂的前缀和 问题提出 问题解决 代码实现 写在前面 这是继数论和组合计数类数学相关与多项式类数学相关后的第三篇数学方面内容总结.主要记录自己近期学习的一些数学方法.内容比较杂,同时也起…

基本定义 第一类斯特林数:$1 \dots n$的排列中恰好有$k$个环的个数:或是,$n$元置换可分解为$k$个独立的轮换的个数.记作 $$ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}. $$ 第二类斯特林数:将$n$个元素分成$k$个非空集合的方案数.记作 $$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}. $$ 根据定义,我们有 $$ \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix…

第一类斯特林数 定义 第一类Stirling数\(s(n,m)\),也可记为\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\). 第一类Stirling分为无符号第一类Stirling数\(s_u(n,m)\)和带符号第一类Stirling数\(s_s(n,m)\). 他们分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数,形式如下: \[ x^{n\downarrow}=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots (x-n+1)=\sum_{k=0}^ns_s(n,…

题面 Description "简单无向图"是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正整数n,k(1<=n<=10^9,1<=k<=200000). Output 输出一行一个整数,即答案对998244353取模的结果. Sample Input 6 5 Sample Ou…