P3768 简单的数学题 题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数\(n\)和一个整数\(p,\)你需要求出\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j)) \bmod p\),其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数. 刚才题面打错了,已修改 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数\(p\).\(n\). 输出格式: 一行一个整数\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))\b…

非常恶心的一道数学题,推式子推到吐血. 光是\(\gcd\)求和我还是会的,但是多了个\(ij\)是什么鬼东西. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[\gcd(i,j)=d]\] 很套路的把后面的\(d\)提出来: \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[\gcd(i,j)=d]=\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{…

题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数p.n. 输出格式: 一行一个整数(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\). 输入输出样例 输入样例#1: 998244353 2000 输出样例#1: 883968974…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 一行两个整数p.n. \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 一行一个整数(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~…

[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 [题目描述] 求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i* j* gcd(i,j)\mod\ p\) [欧拉反演题解] https://www.luogu.org/blog/zhoutb2333/solution-p3768 /* ----------------------- 最大测试点,时限6s [Input] 1000000007 9786510294 [Outpu…

题目链接 emm标题全称应该叫“莫比乌斯反演求出可狄利克雷卷积的公式然后卷积之后搞杜教筛” 然后成功地困扰了我两天qwq 我们从最基本的题意开始,一步步往下推 首先题面给出的公式是$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$ 枚举gcd(i,j)=w,得到 $\sum\limits_{w=1}^{n}w\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[w=gcd(i,j)]$ 这时候我们设一个…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)\) 首先加入方括号并枚举g,提gcd的g: \(\sum\limits_{g=1}^{n}g\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[gcd(i,j)==g]\) 后面的方括号里的g也可以提出来,注意前面有两个id,所以: \(\sum\lim…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 化简一下式子,就是$\sum_{d=1}^ncalc(d)d^2\varphi(d)$ 其中$calc(d)=\frac{({\lfloor}\frac{n}{d}{\rfloor}+1)^2{{\lfloor}\frac{n}{d}{\rfloor}}^2}{4}$ 可以对calc(d)做整除分块,那么要求$d^2\varphi(d)$的前缀和 看一眼数据范围,大概要杜教筛 凑了一会,发现令$f(d)=d^…

解: 神奇的一批......参观yyb巨神的博客. 大致思路就是第一步枚举gcd,发现后面有个限制是gcd=1,用反演,得到的F(x)是两个等差数列求积. 然后发现有个地方我们除法的除数是乘积,于是换元枚举那个乘积.提到最前面. 稍微化一下,发现后面有个Id * miu,这个东西化成phi. 然后得到一个式子,前半部分是s2(n/i)这个整除分块,后面就要相应的求这个东西i2phi[i]的前缀和来迎合整除分块. 然后就是杜教筛,先设个g,把h(n)写出来发现要消掉一个d2,于是g(x) = x2…

Description: 求出\((\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij\ gcd\ (i,j)) mod\ p\) Hint: \(n<=10^{10}​\) Solution: \(Ans=\sum_{d=1}^nd^3 \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} ij\ \ [gcd(i,j)==1]​\) \(Ans=\sum_{d=1}^nd^3\…

传送门 不会…… 两篇加在一起都看不懂…… https://www.cnblogs.com/cellular-automaton/p/8241128.html https://www.luogu.org/blog/cjyyb/solution-p3768 //minamoto #include<iostream> #include<cstdio> #include<map> #define ll long long using namespace std; ; map&…

题目描述 求 \[\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} i*j*gcd(i,j) \pmod{p}\] \(n<=10^{10}\),\(p\)是质数 题解 推导很长就省略啦,, 有空补回来 最后推得这个式子: \[\sum\limits_{T = 1}^{n} (\frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor * (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor + 1)}{2})^2 * T^2 * \varphi…

题意简述 求出这个式子 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j) \bmod p \] 做法 先用莫比乌斯反演拆一下式子 \[ \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j)&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij[(i,j)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\l…

求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$   考虑欧拉反演: $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$   $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$   $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\sum_{d|i,d|j}\varphi(d)$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{…

题意:求$(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j))mod p$(p为质数,n<=1e10) 很显然,推式子. $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$ =$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ijd[gcd(i,j)==d]$ =$\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\l…

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} ij\gcd(i,j)\] \[=\sum_{d=1}^{n} d \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} ij[\gcd(i,j)==d]\] \[=\sum_{d=1}^{n} d^3 \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} ij[\gcd(i,j)==1]\] \[=\sum_{d=1}^{n}…

$$\begin{eqnarray}&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\gcd(i,j)\\&\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij[\gcd(i,j)=d] \\&\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}ij[\gcd(i,j)=1] \\&\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\fra…

P3768 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$,其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数p.n. 输出格式: 一行一个整数$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 998244353 2000 输出样例#1: 复制 883968974 说明 对于20…

P3768 [简单的数学题] \(Ans=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}ijgcd(i,j)\) \(=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}ij\sum _{k|i,k|j} φ(k)\) \(=\sum ^{n}_{k=1} φ(k) \sum _{k|i}\sum _{k|j}ij\) \(=\sum ^{n}_{k=1}\varphi (k) k^{2} (\sum ^{n/k}_{i=1}i)^{2}\) \(=\sum ^{n}_{…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

1037: 一个简单的数学题 [数学] 时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB提交: 259 解决: 41 统计 题目描述 小明想要知道$a^b$的值,但是这个值会非常的大. 所以退而求其次,小明想让你帮他求出来$(a^b) \% c$的值. 输入 第一行为一个数$n$,表示有$n$组数据. 每组数据有三个整数$a$,$b$,$c$. $1 \leq a,b,c \leq 50000$ $1 \leq n \leq 1100$ 输出 每组数据有一行输出:输出$(a^b) \%c $.…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

[LG3768]简单的数学题 题面 求 \[ (\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\text{gcd}(i,j))\text{mod}p \] 其中\(n\leq 10^{10},5\times 10^8\leq p \leq 1.1*10^9\). 题解 推柿子: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\text{gcd}(i,j)\\ =\sum_{d=1}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\…

题目链接 luoguP3768 简单的数学题 题解 上面那个式子的最后一步,需要定理 用数学归纳法证明 \(S1=1^3=1^2\) \(S2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2\) \(S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2\) \(S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2\) \(S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2\) 假设当\(n=k\)时,有\(Sk=1^3+2^3+..…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 这是一道非常简单的数学题. 最近 LzyRapxLzyRapx 正在看 mathematics for computer science 这本书,在看到数论那一章的时候, LzyRapxLzyRapx 突然想到这样一个问题. 设 \[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)} \] 其中,\(\mathrm{lcm}(a,b)\) 表示…

/* 题目大意:求解1/n; 解题思路:写一个输出小数的算法 关键点:怎样处理小数点循环输出 解题人:lingnichong 解题时间:2014-10-18 09:04:22 解题体会:输出小数的算法还没全然理解.先记着 */ 一个简单的数学题 时间限制:3000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:3 描写叙述 zyc近期迷上了数学,一天,dj想出了一道数学题来难住他.算出1/n,但zyc一时答不上来希望大家能编程帮助他. 输入 第一行整数T,表示測试组数.后面T行.每行一个整数…

真是一道"简单"的数学题呢~ 反演题, 化式子. \[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j) \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^nij[gcd(i,j)=d]\\ =\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^nij[gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac nd \right \rfloor}…

大佬们绕道吧(或跳到错误&启发后下一根横线后) 这道题吧正解是莫比乌斯反演吧,但本人有一种独创玄妙的想法去偏分 这道题是让我们求这个对吧 \((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\) 先把\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\)内的\(ij\)去掉式子变成了\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n gcd(i,j))~mod~p\) 怎么算呢 \((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n gcd(i,j))…

题面戳我 题意:求 \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij\gcd(i,j)\] \(n\le10^{10}\) sol \[ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij[gcd(i,j)==d]\\=\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\\=\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)i^2…

Description 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$,其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. Input 一行两个整数p.n. Output 一行一个整数$(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p$. Sample Input 998244353 2000 Sample Output 883968974 HINT 对于20%的数据,$n \leq…