1 排列组合 1.1 排列 \[A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \] 定义:从 n 个中选择 m 个组成有序数列,其中不同数列的数量. 解释:从 n 个中选一个,有 n 种选法,再选第二个,从 n-1 个中选,有 n-1 种选法,以此类推,根据组合数学的乘法原理所以公式是\(n(n-1)(n-2)...(n-m+1)\). 1.2 组合 \[C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]…

HDU4609 FFT+组合计数 传送门:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609 题意: 找出n根木棍中取出三根木棍可以组成三角形的概率 题解: 我们统计每种长度的棍子的个数 我们对于长度就有一个多项式 \[ f=num[0]*i_0+num[1]*i_1+num[2]*i_2.....num[len]*i_len \] 我们考虑两根棍子可以组成所有长度的方案数 所以我们对num数组求一次FFT 两根棍子组成长度的上界是\(len_{max}…

黑白棋(game) [问题描述] 小A和小B又想到了一个新的游戏. 这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的,棋盘上有k个棋子,一半是黑色,一半是白色. 最左边是白色棋子,最右边是黑色棋子,相邻的棋子颜色不同. 小A可以移动白色棋子,小B可以移动黑色的棋子,他们每次操作可以移动1到d个棋子. 每当移动某一个棋子时,这个棋子不能跨越两边的棋子,当然也不可以出界.当谁不可以操作时,谁就失败了. 小A和小B轮流操作,现在小A先移动,有多少种初始棋子的布局会使他胜利呢? [输入格式] 共一行,三个数,n,k…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 用斯特林数容斥原理推导那个式子可以直接出卷积形式,见下一篇,本篇是分治fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 Bell数 \(B(n)=\sum\limits_{i=…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 分治fft做法见上一篇,本篇是容斥原理+fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 考虑集合不相同情况\(S'(n,i)=S(n,i)*i!\),我们用容斥原理推♂倒她…

[HNOI2019]多边形(模拟,组合计数) 题面 洛谷 题解 突然特别想骂人,本来我考场现切了的,结果WA了几个点,刚刚拿代码一看有个地方忘记取模了. 首先发现终止态一定是所有点都向\(n\)连边(看样例图解就知道了) 那么大力猜想一下第一问的答案一定是\(n-3-\)和\(n\)号点直接相连的边数. 手玩一下,发现这样一件事情:和\(n\)直接相连的所有边把多边形分割成了若干个区间,每个区间都用\([l,r]\)表示. 对于\([l,r]\)这个区间,因为已经分割出来了,也就是除了\(l-n…

0 写在前面 0.0 前言 由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. 该文于 2018.3.31 完成最后一次修改(若有出错的地方,之后也会进行维护).其主要内容限于数论和组合计数类数学相关问题.因为版面原因,其余数学方面的总结会以全新的博文呈现. 感谢你的造访. 0.1 记号说明 由于该文完成的间隔跨度太大,不同时期的内容的写法不严谨,甚至 $LaTeX$ 也有许多…

[BZOJ5323][JXOI2018]游戏(组合计数,线性筛) 题面 BZOJ 洛谷 题解 显然要考虑的位置只有那些在\([l,r]\)中不存在任意一个约数的数. 假设这样的数有\(x\)个,那么剩下的数有\(n-x\)个. 枚举时间\(t\),那么强制在\(t\)时刻放下\(x\)数中的最后一个, 那么这样子的方案数就是\(\displaystyle {t-1\choose x-1}*x!*(n-x)!\). 预处理阶乘和逆元就很好做了. #include<iostream> #inclu…

[BZOJ5305][HAOI2018]苹果树(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 考虑对于每条边计算贡献.每条边的贡献是\(size*(n-size)\). 对于某个点\(u\),如果它有一棵大小为\(K\)的子树的话,考虑方案数. 首先要从剩下的\(n-u\)个点中选出\(K\)个点作为这棵子树,那么选择方案数是\({n-u\choose K}\),构树的方案数是\(K!\).除了这些点外,还剩下\(n-u-K\)个点,他们随意的方案数我们这样考虑,首先把选出来的\(K\)个点拿出来,余…

[BZOJ3142][HNOI2013]数列(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 唯一考虑的就是把一段值给分配给\(k-1\)天,假设这\(k-1\)天分配好了,第\(i\)天是\(a_i\),假设\(Sum=\sum a_i\).那么这一种分配方案的贡献就是\(n-Sum\). 而分配方式一共有\(m^{k-1}\)种,所以先把\(n\)个提出来,得到\(n*m^{k-1}\)再减去一堆东西.减去是的啥呢?所有合法方案的\(a_i\)的和. 那么考虑一个位置为某个特定值的贡献就好了. 也就…