原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1039.html 题目传送门 - 51Nod1039 题意 题解 这题我用求高次剩余的做法,要卡常数. UPD(2018-09-10): 详见数论总结. 传送门 - https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Number-theory-Residue-System.html 代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1038.html 题目传送门 - 51Nod1038 题意 题解 在模质数意义下,求高次剩余,模板题. UPD(2018-09-10): 详见数论总结. 传送门 - https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Number-theory-Residue-System.html 代码 优化了一下代码……原来的那个在这一份后面…… #include <bits/stdc…

哎呀大水题..我写了一个多小时..好没救啊.. 数论板子X合一? 注意: 本文中变量名称区分大小写. 题意: 给一个\(n\)阶递推序列\(f_k=\prod^{n}_{i=1} f_{k-i}b_i\mod P\)其中\(P=998244353\), 输入\(b_1,b_2,...,b_n\)以及已知\(f_1,f_2,...,f_{n-1}=1\), 再给定一个数\(m\)和第\(m\)项的值\(f_m\), 求出一个合法的\(f_n\)值使得按照这个值递推出来的序列满足第\(m\)项的值为…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1123.html 题目传送门 - 51Nod1123 题意 $T$ 组数据. 给定 $A,B,C$,求出使得 $x^A \equiv C \pmod B$ 的所有 $x$,保证解的个数不超过 $\sqrt B$ . $T\leq 100,1\leq A,B,C \leq 10^9$ 题解 先记一下写这一题的感受: 1. 写的过程中代码长度峰值达到过 300 行,好久没写码农题了,感到自己码力大减.…

刚学了这方面的知识,总结一下.推荐学习数论方面的知识还是看书学习,蒟蒻看的是<初等数论>学的. 这里也推荐几个总结性质的博客,学习大佬的代码和习题. 原根:https://blog.csdn.net/fuyukai/article/details/50894609 BSGS:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8810050.html https://blog.csdn.net/sodacoco/article/details/81515576 然后也没什么好说的啦…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/BZOJ2219.html 题目传送门 - BZOJ2219 题意 求同余方程 $x^A\equiv B \pmod{C}$ 的解的个数,其中 $C$ 为一个奇数. $1\leq A,B\leq 10^9,1\leq \lfloor C/2 \rfloor \leq 5\times 10^8$ 题解 UPD(2018-09-10): 详见数论总结. 传送门 - https://www.cnblogs.com/z…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/BZOJ2480.html 题目传送门 - BZOJ2480 题意 已知数 $a,p,b$ ,求满足 $a^x≡b \pmod p $ 的最小自然数 $x$ . $a,p,b\leq 10^9$ 题解 ExBSGS模板题. UPD(2018-09-10): 详见数论总结. 传送门 - https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Number-theory-Residue-Sys…

X*X*X mod P = A,其中P为质数.给出P和A,求<=P的所有X.   Input 第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 1000) 第2 - T + 1行:每行两个数P A,中间用空格隔开.(1 <= A < P <= 10^9, P为质数) Output 共T行,每行包括符合条件的X,且0 <= X <= P,如果有多个,按照升序排列,中间用空格隔开.如果没有符合条件的X,输出:No Solution 首先求P…

1319: Sgu261Discrete Roots Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 389  Solved: 172 Description 给出三个整数p,k,a,其中p为质数,求出所有满足x^k=a (mod p),0<=x<=p-1的x. Input 三个整数p,k,a. Output 第一行一个整数,表示符合条件的x的个数. 第二行开始每行一个数,表示符合条件的x,按从小到大的顺序输出. Sample Input 11 3…

[CF913G]Power Substring 题意:T组询问,每次给定一个数a,让你求一个k,满足$2^k$的10进制的后$min(100,length(k))$位包含a作为它的子串.你只需要输出一个k,不需要最小化k的值,保证有解. $T\le 2000,a\le 10^{11}$ 题解:神题. 假设a有n位,$2^k=x$,$x=a\times 10^m+b(\mod 10^{n+m})$,我们显然有$k\ge n+m$,所以$2^{n+m}\mid x$,又因为$2^{n+m}\mid…

Primitive Roots Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 2479   Accepted: 1385 Description We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xi mod p) | 1 <= i <= p-1 } is eq…

题意 已知kkk, aaa, ppp. 求 xk≡a (mod p)x^k\equiv a\ (mod\ p)xk≡a (mod p) 的所有根. 根的范围[0,p−1][0,p-1][0,p−1]. ppp为质数 分析 因为ppp是质数,那么一定有原根.设为ggg. 原根的性质如下: 对于[1,p−1][1,p-1][1,p−1]的所有iii,一定存在x∈[1,p−1]x\in[1,p-1]x∈[1,p−1]使得gx≡i (mod p)g^x\equiv i\ (mod\ p)gx≡i (mo…

题目链接 直接用模板好了.实在不行,反正有队友啊~~~~ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; map<LL,LL>mp; LL qpow(LL x,LL n,LL mod) //求x^n%mod { LL ret=; ) { ) ret=ret*x%mod; x=x*x%mod; } return ret; } LL gcd(LL a, LL b) { return b? gcd(b,…

Problem 1752 A^B mod C Accept: 579    Submit: 2598Time Limit: 1000 mSec    Memory Limit : 32768 KB Problem Description Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,B,C<2^63). Input There are multiply testcases. Each testc…

传送门 好久没写数论题了写一次调了1h 首先发现递推式是一个乘方的形式,线性递推和矩阵快速幂似乎都做不了,那么是否能够把乘方运算变成加法运算和乘法运算呢? 使用原根!学过\(NTT\)的都知道\(998244353\)的原根\(G=3\). 使用原根之后,可以得到一个等价的新递推式:\(G^{g_i} = \prod\limits _ {j=1}^k G^{g_{i - j} \times b_j} \mod 998244353(G^{g_i} \equiv f_i\mod 998244353)…

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long int64; ]; int64 A,B,K,pi,pk,ans,ti,q; int64 ksm(int64 x,int64 y){ ) ; ) return x; int64 d=k…

数论进阶 扩展欧几里得算法 裴蜀定理(Bézout's identity) \(1\) :对于任意整数 \(a\),\(b\) ,存在一对整数 \(x\) ,\(y\) ,满足 \(ax+by=GCD(a,b)\) . 2:对于任意整数 \(a\),\(b\) ,二元一次不定方程 \(ax+by=c\) 有整数解 \((x,y)\) 当且仅当 \(GCD(a,b)|c\) . 扩展欧几里得算法(Extended Euclidean algorithm) 首先,我们来回顾一下欧几里得算法: voi…

题解 K次剩余终极版!orz 写一下,WA一年,bug不花一分钱 在很久以前,我还认为,数论是一个重在思维,代码很短的东西 后来...我学了BSGS,学了EXBSGS,学了模质数的K次剩余--代码一个比一个长-- 直到今天,我写了240行的数论代码,我才发现数论这个东西= =太可怕了 好吧那么我们来说一下任意模数的K次剩余怎么搞 首先,如果模数是奇数,我们可以拆成很多个质数的指数幂,再用解同余方程的方法一个个合起来,细节之后探讨 但是如果,模数有偶数呢 因为要输出所有解,解的个数不多,我们可以倍…

目录 快速幂 扩展欧几里得 GCD 扩展欧几里得 同余系列 同余方程 同余方程组 一点想法 高次同余方程 BSGS exBSGS 线性筛素数 埃式筛 欧拉筛 欧拉函数 讲解 两道水题 法雷级数 可见点数 原根 欧拉定理 原根部分性质证明(数量证不出来,一个还没填的坑) 扩展:原根的求法 代码 高斯消元 普通 辗转相除法 矩阵树与证明 未了结的坑 无向图 关联矩阵 Kirchhoff矩阵 行列式 求法 代码 证明 柯西-比内公式 小结 @ 快速幂 题目描述 [题意] 求a^b mod c,a,b,…

FFT可以用来计算多项式乘法,但是复数的运算中含有大量的浮点数,精度较低.对于只有整数参与运算的多项式,有时,\(\text{NTT(Number-Theoretic Transform)}\)会是更好的选择. 原根 阶 若\(a,p\)互素,且\(p>1\),对于\(a^k \equiv 1 (\mod p)\)的最小的\(k\),称为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(\sigma_p(a)\). \(E.g.\) \(\sigma_7(2)=3\) \(2^1\equiv 2(\mod 7…

题目链接:https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1135 题意:中文题诶- 思路:设m是正整数,a是整数,若a模m的阶等于φ(m),则称a为模m的一个原根.(其中φ(m)表示m的欧拉函数)给出1个质数P,找出P最小的原根. 我们先了解一下阶的概念:满足 a^r Ξ (1 mod m) ---1 的最小 r 即为 a%m的阶,我们可以直接从小到大枚举a, 然后将 r= φ(m) 带入进去, 判断如果满足  1式…

乍一看题面:$$a^x \equiv b \ (mod \ m)$$ 是一道BSGS,但是很可惜$m$不是质数,而且$(m, a) \not= 1$,这个叫扩展BSGS[额...... 于是我们需要通过变换使得$(m, a) = 1$ 首先令$g = (a, m)$,则原式等价于:$$a ^ x + k * m = b, k \in \mathbb{Z}$$ 移项可得:$$\frac{a} {g} * a ^ {x - 1} + k * \frac {m} {g} = \frac {b} {g}…

[SPOJ]Power Modulo Inverted(拓展BSGS) 题面 洛谷 求最小的\(y\) 满足 \[k\equiv x^y(mod\ z)\] 题解 拓展\(BSGS\)模板题 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set…

说好的签到题呢qwq....怎么我签到题都不会啊qwq 之后看了bsgs才发现貌似不是那么那么难fake!!什么东西... 先贴上部分分做法(也就是枚举1的个数,然后每一步都进行取模(这和最后取模结果一样,但是可以处理更大的整数),判断是否符合题意.这个很好想也很好打,得分70分): #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; long long k,m; void…

Discrete Logging Time Limit: 5000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 5577   Accepted: 2494 Description Given a prime P, 2 <= P < 231, an integer B, 2 <= B < P, and an integer N, 1 <= N < P, compute the discrete logarithm of N, b…

原根判定:$m>2$,$\varphi (m)$的不同素数是$q_1,q_2,……,q_s$,$(g,m)=1$,则$g$是$m$的一个原根的充要条件是$g^{\frac{\varphi(m)}{q_i}} \not\equiv 1 (mod m)$. 原根一般很小可以暴力得. //#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> //#include<…

题目要求的是: \[ ...a(a(a(ax+b)+b)+b)+b...=a^nx+a^{n-1}b+a^{n-2}b+...+b\equiv t(mod\ p) \] 后面这一大坨看着不舒服,所以考虑把它化掉,这里有两种做法: 做法一:两边同乘a-1 \[ (a^{n-1}x)(a-1)+b(a^{n-1}-1)\equiv t(a-1)(mod\ p) \] \[ a^nx-a^{n-1}x+ba^{n-1}-b \equiv at-t(mod\ p) \] \[ axa^{n-1}-xa^…

题目大意: 设\(f(i)\)为使\((x+y)^i \equiv x^i (mod\ p)\)成立的(x,y)的对数.其中\(1 \leq x \leq p-1 , 1\leq y\leq m\),m,p给定且p是一个质数.求\(\sum_{i=1}^{p-1}i*f(i)\),p<=1e9+7,m<=p-1 思路 我们考虑用原根去代换x,y. 设g为p的一个原根,\(g^a\equiv x(mod \ p),g^b \equiv y(mod \ p)\). 然后我们用\(g\)去代换\(x…

题目 给定矩阵A, B和模数p,求最小的正整数x满足 A^x = B(mod p). 分析 与整数的离散对数类似,只不过普通乘法换乘了矩阵乘法. 由于矩阵的求逆麻烦,使用 $A^{km-t} = B(mod \ p)$ 形式的BSGS. 然后就是判断矩阵是否相等, 一种方法是对矩阵进行Hash, 这里为了防止两个不同矩阵的Hash值冲突,使用了两个底数进行Hash. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long l…

注意 由于蒟蒻实在太弱了~^_^~暂时无法完成证明,仅能写出简单版总结 与FFT的区别 \(NTT\)与\(FFT\)的代码区别就是把单位根换成了原根,从而实现无精度误差与浮点数的巨大常数 原根具有单位根的所有特点,原根是在特定模数下的定义 对于模数\(p\),原根\(g\)满足:\(~_{i=0}^{p-1}g^i (mod~p)\)均不同 用\(type=1,g^{\frac{p-1}{2*mid}}:type=-1,\dfrac{1}{g^{\frac{p-1}{2*mid}}}\)代替单…