MT【131】$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$,$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)． (1) 求证:$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$: (2) 求证:$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．…

MT【137】多少个?

数列$\{a_n\}$共11项,$a_1=0,a_{11}=4$,且$|a_{k+1}-a_{k}|=2,k=1,2,\cdots,10$ 求满足条件的不同的数列的个数______ 解答:$a_{k+1}-a_{k}$为2或者-2.设有 $x$个2,和$10-x$个-2.故$2x-2(10-x)=4$,得$x=6$故有$C_{10}^6$不同的数列. 练习: 数列$\{a_n\}$共21项,满足\(|a_{k+1}-a_{k}|=1,(k=1,2,\cdo…

MT【317】两次判别式

已知$a^2+b^2+c^2-ab-bc=1$求$c$的最大值______ 注意到$2c^2-3(a^2+b^2+c^2-ab-bc)=-(c-\dfrac{3}{2}b)^2-3(a-\dfrac{b}{2})^2\le0$故$c\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 这里化成齐次后直接用两次判别式易得,参考MT[169] 但是困难的是不能化成齐次的,如MT[189],MT[154]…

MT【254】值域包含值域

已知函数$f(x)=x-\dfrac{1}{1+x},g(x)=x^2-2ax+4,$若对任意$x_1\in[0,1]$,存在$x_2\in[1,2]$,使得$f(x_1)=g(x_2)$,则实数$a$的取值范围____ 分析:$f(x)$的值域包含于$g(x)$的值域中,一般做法接下来要讨论对称轴与区间端点,这里提供一种简单的方法:易知$f(x)\in[-1,\dfrac{1}{2}]$, 则存在$x\in[1,2],g(x)\le-1$ 成立.也存在$x\in[1,2],g(x)\ge\df…

MT【176】两两乘积

求$1,2\cdots,n$两两乘积的平均值____ 解答:$\dfrac{1}{C_n^2}\sum\limits_{1\le i<j\le n}{ij}=\dfrac{1}{n(n-1)}((\sum\limits_{i=1}^n{i})^2-\sum\limits_{i=1}^n{i^2})=\dfrac{(n+1)(3n+2)}{12}$ 注:自然而然会问每三个的乘积的平均值是多少?三个的这种恒等变形不一定有,但是类似的问题可以看下一题MT[177]…

MT【147】又见最大最小

(2018浙江省赛12题)设$a\in R$,且对任意的实数$b$均有$\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\ge1$求$a$的范围_____解答:由题意$\min\limits_{b\in R}{\max\limits_{x\in[0,1]}{|x^2+ax+b|}}\ge1$记$N=\max\limits_{x\in[0,1]}{|x^2+ax+b|},f(x)=|x^2+ax+b|$$N\ge f(0)=|b|,N\ge f(1)=|1+a+b|$则$2N\g…

MT【146】一边柯西，一边舍弃

(2018浙江省赛9题)设$x,y\in R$满足$x-6\sqrt{y}-4\sqrt{x-y}+12=0$,求$x$的范围______ 解答:$x+12=6\sqrt{y}+4\sqrt{x-y}$注意到:$6\sqrt{y}+4\sqrt{x-y}\le\sqrt{(6^2+4^2)(y+x-y)}=\sqrt{52x}$且$6\sqrt{y}+4\sqrt{x-y}\ge4(\sqrt{y}+\sqrt{x-y})\ge4\sqrt{x}$故$4\sqrt{x}\le x+12\le\s…

MT【142】Bachet 问题,进位制

问题: 满足下面两种限制条件下要想称出40以内的任何整数重量,最少要几个砝码: i)如果砝码只能在天平的某一边; ii)如果砝码可以放在天平的两边. 提示:对于 i)先证明如下事实: \[\textbf{砝码 $1,2,4,\cdots,2^{n-1}$ 可以称出 $2^n-1$ 以内的任何整数质量,且没有其他的仅由 $n$ 个砝码组成的集合具有同样的称重效果(能称出同样多的一列从 $1$ 开始的连续重量)}\] 分析: 因为 $1$ 到 $2^n-1$ 的任何正整数无一例外的可以用唯一…

用Storm轻松实时大数据分析【翻译】

原文地址简单易用,Storm让大数据分析变得轻而易举. 如今,公司在日常运作中经常会产生TB(terabytes)级的数据.数据来源包括从网络传感器捕获的,到Web,社交媒体,交易型业务数据,以及其他业务环境中创建的数据.考虑到数据的生成量,实时计算(real-time computation )已成为很多组织面临的一个巨大挑战.我们已经有效地使用了一个可扩展的实时计算系统--开源的 Storm 工具,它是有 Twitter 开发,通常被称为"实时 Hadoop(real-time Hadoo…

Apache log4net™ 手册——概述【翻译】

原文地址本文内容概述框架日志(Loggers)和追加器(Appenders) 日志层次(Logger hierarchy) 追加器(Appenders) 筛选(Filters) 布局(Layouts) 对象渲染(Object Renderers) 最近公司有个项目,需要解析三种二进制流,我写其中的两种,最后用一个 Windos 服务来实时处理.之前的项目都只是简单记下,主要是数据库层日志,但针对这个项目,貌似需要点复杂的日志系统,在软件各个层次上都需要日志,否则,出毛病的话,还真看不出来…

SpringMVC4零配置--Web上下文配置【MvcConfig】

与SpringSecurity的配置类似,spring同样为我们提供了一个实现类WebMvcConfigurationSupport和一个注解@EnableWebMvc以帮助我们减少bean的声明. applicationContext-MvcConfig.xml  <context:component-scan base-package="web.function" use-d…

从客户端检测到有潜在危险的Request.Form 值【转】

asp.net开发中,经常遇到“从客户端检测到有潜在危险的Request.Form 值”错误提示,很多人给出的解决方案是: 1.web.config文档<system.web>后面加入这一句: <pages validaterequest="false"/> 示例: <?xml version="1.0" encoding="gb2312" ?> <configuration> <system…

Log4Net学习【三】

Log4Net配置详解配置方式一在相应的应用程序的配置文件中配置,(WinForm对应的是*.exe.config,WebForm对应的是*.config),本实例是Web应用程序,以Web.config为例子讲解. 第一步添加并应用Log4net.dll.然后在Web.config文件中添加下面的配置 <configSections> <section name="log4net" type="log4net.Config.Log4NetCon…

【译】索引进阶（十三）：SQL SERVER中的索引碎片【下篇】

原文链接:传送门. 通用碎片模式如果一个表具有多个索引,那么这些索引便具有多个索引键,因而也具有不同的顺序.通常情况下,这些索引中的一两个展示了之前描述过的升序插入模式,而其他的通常展示了随机插入模式. 升序插入模式的候选索引包括那些最左边的索引列具有如下特征的列: 按年月的列,比如TransactionDate. 具有身份标识属性的列一个带有NewSequentialId() 默认约束的唯一性标识列当把插入和删除考虑进来时,五种通用的碎片模式复现了出来,它们中的四种会从索引维护中受益.本…

MT【319】分段递推数列

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且\begin{equation*} x_{n+1}= \left\{ \begin{aligned}x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}\end{aligned} \right.\end{equation*}证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$ 证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$若$…

手把手教你Chrome浏览器安装Postman（含下载云盘链接）【转载】

转载自:http://www.ljwit.com/archives/php/278.html 说明: Postman不多介绍,是一款功能强大的网页调试与发送网页HTTP请求的Chrome插件.本文主要介绍下安装过程. 本文使用的是解压文件直接进行安装.是比较快速有效的安装方式,当然也可以去goole的在线商店去直接安装,可是你要FQ才行. 压缩文件在文后! 第一步:把下载后的.crx扩展名的离线Chrome插件的文件扩展名改成.zip或者.rar(如果看不到Chrome插件的扩展名请百度搜索相关…

MT【311】三角递推数列

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求证:$S_n>n-\dfrac{5}{2}$ 证明:显然$a_n\in(0,1)$故由约旦不等式: $a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right)\ge\dfrac{2}{\pi}\cdot(\dfrac{\pi}{2}a_n)=a_n$, 即$a_n$单调递…

MT【290】内外圆求三角最值

求$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$的最小值. 提示:$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$ $=\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x)^2+(1-\dfrac{1}{2}\sin x)^2}+2\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x+1)^2+(\dfrac{1}{2}\sin x-1)^2…

MT【272】更大的视野，更好的思路.

已知$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2017}\dfrac{\cos kx}{\cos^k x},$则$f(\dfrac{\pi}{2018})=$_____ 分析:设$g(x)=\sum\limits_{k=1}^{2017}\left(\dfrac{\cos kx}{\cos^k x}+i\dfrac{\sin kx}{\cos^k x}\right)$ $=\sum\limits_{k=1}^{2017}\left(\dfrac{\cos x+i\sin x}{\cos…

keytool导入导出多条目对比【原】

步骤一:生成orange.keystore和banana.keystore keytool -genkey -alias orange -keyalg RSA -keysize 1024 -keypass kingkp -storepass kingsp -validity 365 -keystore d:/research/keystore/orange.keystore后续输入6次orange,并按y确认生成keytool -genkey -alias banana -keyalg RSA…

dom4j基础教程【转】

转自 http://blog.csdn.net/whatlonelytear/article/details/42234937 ,但经过大量美化及补充. Dom4j是一个易用的.开源的库,用于XML,XPath和XSLT.它应用于Java平台,采用了Java集合框架并完全支持DOM,SAX和JAXP. DOM4J使用起来非常简单.只要你了解基本的XML-DOM模型,就能使用.然而他自己带的指南只有短短一页(html),不过说的到挺全.国内的中文资料很少. 之前看过IBM developer社区的…

MT【210】四点共圆+角平分线

(2018全国联赛解答最后一题)在平面直角坐标系$xOy$中,设$AB$是抛物线$y^2=4x$的过点$F(1,0)$的弦,$\Delta{AOB}$的外接圆交抛物线于点$P$(不同于点$A,O,B$),若$PF$平分$\angle{APB}$,求$|PF|$所有可能值. 解答:不妨设$AO:y=kx(k>0)$,联立方程$y=kx,y^2=4x$得$A(\dfrac{4}{k^2},\dfrac{4}{k})$ $AB:y=\dfrac{\frac{4}{k}}{\frac{4}{k^2}-1…

MT【45】抛物线外一点作抛物线的切线（尺规作图题）

注1:S为抛物线焦点注2:由切线的唯一性,以及切线时可以利用MT[42]评得到三角形全等从而得到切线平分$\angle MQS$得到…

MT【35】用复数得到的两组恒等式

特别的,当$r\rightarrow1^{-}$时有以下两个恒等式: 第二个恒等式有关的自主招生试题参考博文MT[31]傅里叶级数为背景的三角求和评:利用两种展开形式得到一些恒等式是复数里经常出现的考点.…

Apache log4net™ 手册——介绍【翻译】

原文地址本文内容配置配置属性应用程序 appSettings 配置文件配置语法追加器(Appenders) 筛选器(Filters) 布局(Layouts) 根记录器(Root Logger) 记录器(Loggers) 渲染(Renderers) 参数(Parameters) 扩展参数(Extension Parameters) 紧凑 Parameter 语法(Compact Parameter Syntax) 下载 Demo.log4net Apache log4net™ 手册--…

郑晔谈 Java 开发：新工具、新框架、新思维【转载】【整理】

原文地址导语:"我很惊讶地发现,现在许多程序员讨论的内容几乎和我十多年前刚开始做 Java 时几乎完全一样.要知道,我们生存的这个行业号称是变化飞快的.其实,这十几年时间,在开发领域已经有了非常多的新内容涌现出来,即便是 Java 开发这个领域,也有了很多变化--" --郑晔 1995年5月23日,Java 语言正式诞生: 1996年1月,JDK1.0发布: 2000年5月,JDK1.3.JDK1.4 相继发布: 2004年9月,J2SE 1.5发布: 2009年12月,Java E…

MT【101】分配问题举例若干

先拿MT[100]的图表镇楼. 举几个例子: [1]52张纸牌分发给4人,每人13张,问每人手中有一张小2的概率? 分析:第一步每人分一张小2,有4!种,然后48张牌平均分成4组有$\frac{48!}{12!12!12!12!}$易得概率为$4!\frac{48!(13!)^4}{52!(12!)^4}$大概为10.55%,有兴趣也可以算一下四张2都在某个人手里的概率. [2]$(x+y+z+w)^5$的展开式有多少项? 分析:每一项都是5次方,相当于5个无区别的小球放入4个有标志的盒子里.每…