https://scut.online/p/354 跟多项式一点关系都没有. 注意到其实两个多项式在1处求值,那么就是他们的系数加起来. 列一列发现系数就是n以内两两求gcd的值,还自动把0去掉了. 那么就是 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}gcd(i^2,j^2)\) 这种情况就要枚举g但是为了方便我们也是枚举g而不是g平方 \(\sum\limits_{g=1}^{n}g^2\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limit…

https://scut.online/p/114 \(A(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{lcm(i,n)}{gcd(i,n)}\) \(=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{in}{gcd^2(i,n)}\) 枚举g: \(A(n)=n\sum\limits_{g|n}\frac{1}{g^2} \sum\limits_{i=1}^{n} i [gcd(i,n)==g]\) 最内层除以g: \(A(n)=n\sum\limits_{g|n}\…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 一行两个整数p.n. \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 一行一个整数(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

题目链接 emm标题全称应该叫“莫比乌斯反演求出可狄利克雷卷积的公式然后卷积之后搞杜教筛” 然后成功地困扰了我两天qwq 我们从最基本的题意开始,一步步往下推 首先题面给出的公式是$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$ 枚举gcd(i,j)=w,得到 $\sum\limits_{w=1}^{n}w\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[w=gcd(i,j)]$ 这时候我们设一个…

题目描述 给出 $n$ 和 $p$ ,求 $(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j))\mod p$ . $n\le 10^{10}$ . 题解 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛 推式子: $$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|…

题目链接 题意:给定\(n\le 10^9\),求:\(F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)}\),对1e9+7取模 推式子: \(F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)}\) \(=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{ij}{\gcd^2(i,j)}\) \(=\…

题面: 传送门 实际上就是求: 思路: 看到gcd就先反演一下,过程大概是这样: 明显的一步反演 这里设,S(x)等于1到x的和 然后把枚举d再枚举T变成先枚举T再枚举其约数d,变形: 后面其中两项展开,把T提出来 S那里可以数论分块,那么只要S后面那个东西可以筛出来,就可以O(sqrt(n)) 发现后面的那部分可以狄利克雷卷积一波 这明显是一个积性函数,但是n有10^10,所以不能线筛 考虑使用杜教筛,令上述函数为f,函数S为f的前缀和 套用杜教筛模板式 现在问题就是选一个合适的g函数了 我们…

题目描述 求 \[\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} i*j*gcd(i,j) \pmod{p}\] \(n<=10^{10}\),\(p\)是质数 题解 推导很长就省略啦,, 有空补回来 最后推得这个式子: \[\sum\limits_{T = 1}^{n} (\frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor * (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor + 1)}{2})^2 * T^2 * \varphi…