题目传送门 思路:首先是Burnside引理,要先学会这个博客. Burnside引理我们总结一下,就是 每种置换下不动点的数量之和除以置换的总数,得到染色方案的数量.        这道题,显然每种洗牌方式都是一种置换,我们先数出每种置换的不动点.什么叫不动点,就是在这个置换下不停的变化后状态不变的染色方案.容易想出每个置换都有一个循环节,每张牌在某种洗牌方式下的位置是循环的,那要使得这个成为一个不动点,就需要使得同一循环节上的牌的颜色相同.那么这个问题就转化成了一个三维背包问题了. 背包的转…

题目链接 BZOJ1004 题解 burnside定理 在\(m\)个置换下本质不同的染色方案数,等于每种置换下不变的方案数的平均数 记\(L\)为本质不同的染色方案数,\(m\)为置换数,\(f(i)\)为置换\(i\)下不变的方案数,那么 \[L = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^{m} f(i)\] 在一个置换下一个方案不变,当且仅当该置换的任意一个循环节内部颜色相同 记循环节个数为\(c_i\),色数为\(k\)且不限使用,那么该置换下不变的方案数为 \[…

题意:有n张牌,有R+G+B=n的3种颜色及其数量,要求用这三种颜色去染n张牌.n张牌有m中洗牌方式,问在不同洗牌方式下本质相同的染色方案数. 解法:这道题非常有意思,题解参考Hzwer学长的.我这里再总结一下: 看到本质相同的染色方案我们很容易会想到Burnside引理和Polya定理,但是这题不能用Polya定理,为什么?因为一般的Ployd染色的颜色个数是没有限制的,于是当循环节为l颜色为c时候,方式数就是c^l(就是因为一个循环方案要相同所以染的颜色也要相同).但是此题颜色个数有限制,不…

1004: [HNOI2008]Cards Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 1668  Solved: 978[Submit][Status] Description 小 春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答 案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最…

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 4255  Solved: 2582[Submit][Status][Discuss] Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法…

传送门 在没做这道题之前天真的我以为\(Polya\)可以完全替代\(Burnside\) 考虑\(Burnside\)引理,它要求的是对于置换群中的每一种置换的不动点的数量. 既然是不动点,那么对于这一个置换中的一个轮换,这个不动点中轮换里所有位置的颜色都必须相同. 然后题目就转化成了一个背包. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<ctime> #include<…

题目描述 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 题解 直接 Burnside 引理就可以了. 要计算不动点的个数,那么对于一个长度为 \(x\) 的循环,必须全部是红色.蓝色.绿色三种. 所以显然可以 DP.令 \(dp[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 个循环,\(j\) 张牌选了红色,\(k\) 张牌选了蓝色,剩下的选了绿色的方案数.背包转移就可以了. 最后记得要比 \(m\) 个置换多算一个 \(f_i = i\) 的…

Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决…

题目大意:3种颜色,每种染si个,有m个置换,求所有本质不同的染色方案数. 置换群的burnside引理,还有个Pólya过几天再看看... burnside引理:有m个置换k种颜色,所有本质不同的染色方案数就是每种置换的不变元素的个数的平均数. 求每种置换的不变元素的个数用背包解决.因为置换之后元素不变,所以对于每个循环节我们要染一个颜色,于是先处理出循环节作为背包中的“物体”,然后一个三维背包解决.f[i][j][k]的i j k表示三种颜色分别还可以染多少次. 除m%p用费马小定理就行了,…