和梯度下降法一样,Normal Equation(正规方程法)算法也是一种线性回归算法(Linear Regression Algorithm).与梯度下降法通过一步步计算来逐步靠近最佳θ值不同,Normal Equation提供了一种直接得到最佳θ值的公式. 我们知道,求解曲线f(x)=ax^2+bx+c极值的问题,其解法是求导数f'(x),并将其置0,求解出极值点.(因为斜率为0,所以是极值). 而放宽到θ系数矩阵,我们同样可以对每个θ求偏导数,从而得到我们想要的J(θ). 利用內积公式:…

Normal Equation算法及其简洁,仅需一步即可计算出theta的取值,实现如下: function [theta] = normalEqn(X, y) theta = zeros(size(X, 2), 1); theta = inv(X'*X)*X'*y; end 和梯度下降算法一样,我们预估1650square feet&3 bedrooms的房价: x_e=[1650,3]; x_e=[ones(size(x_e),1) x_e]; price = x_e*theta; outp…

Normal Equation Note: [8:00 to 8:44 - The design matrix X (in the bottom right side of the slide) given in the example should have elements x with subscript 1 and superscripts varying from 1 to m because for all m training sets there are only 2 featu…

#对coursera上Andrew Ng老师开的机器学习课程的笔记和心得: #注:此笔记是我自己认为本节课里比较重要.难理解或容易忘记的内容并做了些补充,并非是课堂详细笔记和要点: #标记为<补充>的是我自己加的内容而非课堂内容,参考文献列于文末.博主能力有限,若有错误,恳请指正: #---------------------------------------------------------------------------------# 多元线性回归的模型: #-----------…

,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, 1 % Exercise 1: Linear regression with multiple variables %% Initialization %% ================ Part 1: Featu…

继续考虑Liner Regression的问题,把它写成如下的矩阵形式,然后即可得到θ的Normal Equation. Normal Equation: θ=(XTX)-1XTy 当X可逆时,(XTX)-1XTy = X-1,(XTX)-1XTy其实就是X的伪逆(Pseudo inverse).这也对应着Xθ = y ,θ = X-1y 考虑特殊情况 XTX 不可逆 解决办法: 1)考虑是否有冗余的特征,例如特征中有平方米,还有平方厘米,这两个特征就是冗余的,解决办法是去掉冗余 2)再有就是n…

I was going through the Coursera "Machine Learning" course, and in the section on multivariate linear regression something caught my eye. Andrew Ng presented the Normal Equation as an analytical solution to the linear regression problem with a l…

引言: Normal Equation 是最基础的最小二乘方法.在Andrew Ng的课程中给出了矩阵推到形式,本文将重点提供几种推导方式以便于全方位帮助Machine Learning用户学习. Notations: RSS(Residual Sum Squared error):残差平方和 β:参数列向量 X:N×p 矩阵,每行是输入的样本向量 y:标签列向量,即目标列向量 Method 1. 向量投影在特征纬度(Vector Projection onto the Column Space…

本文会讲到: (1)另一种线性回归方法:Normal Equation: (2)Gradient Descent与Normal Equation的优缺点:   前面我们通过Gradient Descent的方法进行了线性回归,但是梯度下降有如下特点: (1)需要预先选定Learning rate: (2)需要多次iteration: (3)需要Feature Scaling:   因此可能会比较麻烦,这里介绍一种适用于Feature数量较少时使用的方法:Normal Equation:   当F…

一.Normal Equation 我们知道梯度下降在求解最优参数\(\theta\)过程中需要合适的\(\alpha\),并且需要进行多次迭代,那么有没有经过简单的数学计算就得到参数\(\theta\)呢? 下面我们看看Ng 4-6 中的房价预测例子: 其中\( m = 4, n = 4 \).在机器学习中,线性回归一般都增加额外的一列特征\(x_0 = 1\),其中我们特征矩阵\(X\)和值向量\(y\)分别为: \begin{bmatrix}1 & 2104 & 5 & 1…

继续考虑Liner Regression的问题,把它写成如下的矩阵形式,然后即可得到θ的Normal Equation. Normal Equation: θ=(XTX)-1XTy 当X可逆时,(XTX)-1XTy = X-1,(XTX)-1XTy其实就是X的伪逆(Pseudo inverse).这也对应着Xθ = y ,θ = X-1y 考虑特殊情况 XTX 不可逆 解决办法: 1)考虑是否有冗余的特征,例如特征中有平方米,还有平方厘米,这两个特征就是冗余的,解决办法是去掉冗余 2)再有就是n…

正规方程 Normal Equation 前几篇博客介绍了一些梯度下降的有用技巧,特征缩放(详见http://blog.csdn.net/u012328159/article/details/51030366)和学习率(详见http://blog.csdn.net/u012328159/article/details/51030961).在线性回归中.为了求得參数 %5Ctheta" alt="">的最优值,一般採用梯度下降和本文将要介绍的正规方程(normal equ…

Normal equation: 一种用来linear regression问题的求解Θ的方法,另一种可以是gradient descent 仅适用于linear regression问题的求解,对其它的问题如classification problem或者feature number太大的情况下(计算量会很大)则不能使用normal equation,而应使用gradient descent来求解. (由求导的过程推导而得) 这种方法是对cost function(J(θ),θ为n+1维向量(…

normal equation(正规方程) 正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的: \[ \frac{\partial}{\partial\theta_j}J\left(\theta\right)=0 \] 假设我们的训练集特征矩阵为 \(X\)(包含了\(x_0=1\))并且我们的训练集结果为向量 \(y\),则利用正规方程解出向量: \[ \theta ={{\left( {X^T} X \right)}^{-1}}{X^T}y \] 梯度下降与正规方程的比较: 梯度下…

theta=(Xt*X)^-1 Xt*y x is feature matrix y is expectation…

到目前为止,我们都在使用梯度下降算法,但是对于某些线性回归问题,正规方程方法是更好的解决方案.如: 即: 运用正规方程方法求解参数: 注:对于那些不可逆的矩阵(通常是因为特征之间不独立,如同时包含英尺为单位的尺寸和米为单位的尺寸两个特征,也有可能是特征数量大于训练集的数量),正规方程方法是不能用的. 总结一下,只要特征变量的数目并不大,标准方程是一个很好的计算参数…

问题描述:m examples : (x(1),y(1)), (x(2),y(2)),..., (x(m),y(m)) and n features; 计算方法:θ = (XTX)-1XTy; 计算过程: (1) x(i) = [ x0(i)  x1(i) ...  xn(i) ] 为列矩阵: (2)design matrix: X = [ (x(1))T (x(2))T (x(3))T ... (x(n))T ] (3)compute with the format θ = (XTX)-1XT…

如果需要代做算法,可以联系我...博客右侧有联系方式. 一.正规化方程概念 假设我们有m个样本.特征向量的维度为n.因此,可知样本为{(x(1),y(1)), (x(2),y(2)),... ..., (x(m),y(m))},其中对于每一个样本中的x(i),都有x(i)={x1(i), xn(i),... ...,xn(i)}.令 H(θ)=θ0 + θ1x1 +θ2x2 +... + θnxn,则有 若希望H(θ)=Y,则有 X · θ = Y 我们先来回忆一下两个概念:单位矩阵 和 矩阵的…

前面我们通过Gradient Descent的方法进行了线性回归,但是梯度下降有如下特点: (1)需要预先选定Learning rate: (2)需要多次iteration: (3)需要Feature Scaling:   因此可能会比较麻烦,这里介绍一种适用于Feature数量较少时使用的方法:Normal Equation:   当Feature数量小于100000时使用Normal Equation: 当Feature数量大于100000时使用Gradient Descent:      …

Basis(基础): SSE(Sum of Squared Error, 平方误差和) SAE(Sum of Absolute Error, 绝对误差和) SRE(Sum of Relative Error, 相对误差和) MSE(Mean Squared Error, 均方误差) RMSE(Root Mean Squared Error, 均方根误差) RRSE(Root Relative Squared Error, 相对平方根误差) MAE(Mean Absolute Error, 平均绝…

Content: 1. Linear Regression 1.1 Linear Regression with one variable 1.1.1 Gradient descent algorithm 1.2 Linear Regression with multiple variable 1.2.1 Feature Scaling 1.2.2 Features and polynomial regression 1.2.3 Normal equation 1.2.4 Probalilist…

FITTING A MODEL VIA CLOSED-FORM EQUATIONS VS. GRADIENT DESCENT VS STOCHASTIC GRADIENT DESCENT VS MINI-BATCH LEARNING. WHAT IS THE DIFFERENCE? In order to explain the differences between alternative approaches to estimating the parameters of a model,…

原文:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7700772 本栏目(Machine learning)包括单参数的线性回归.多参数的线性回归.Octave Tutorial.Logistic Regression.Regularization.神经网络.机器学习系统设计.SVM(Support Vector Machines 支持向量机).聚类.降维.异常检测.大规模机器学习等章节.所有内容均来自Standford公开课machine…

感谢中国人民大学胡鹤老师,课讲得非常好~ 首先,何谓tensor?即高维向量,例如矩阵是二维,tensor是更广义意义上的n维向量(有type+shape) TensorFlow执行过程为定义图,其中定义子节点,计算时只计算所需节点所依赖的节点,是一种高效且适应大规模的数据计算,方便分布式设计,对于复杂神经网络的计算,可将其拆开到其他核中同时计算. Theano--torch---caffe(尤其是图像处理)--deeplearning5j--H20--MXNet,TensorFlow 运行环境…

模型 假定有i组输入输出数据.输入变量可以用\(x^i\)表示,输出变量可以用\(y^i\)表示,一对\(\{x^i,y^i\}\)名为训练样本(training example),它们的集合则名为训练集(training set). 假定\(X\)有j个特征,则可以用集合\({x^i_1,x^i_2,\dots ,x^i_j}\)表示. 为了描述模型,要建立假设方程(hypothesis function) : $ h:X\to Y$. \(h_\theta (x) = \theta_0 +…

Week1: Machine Learning: A computer program is said to learn from experience E with respect to some class of tasks T and performance measure P, if its performance at tasks in T, as measured by P, improves with experience E. Supervised Learning:We alr…

整理自Adrew Ng 的 machine learning课程week3 目录: 二分类问题 模型表示 decision boundary 损失函数 多分类问题 过拟合问题和正则化 什么是过拟合 如何解决过拟合 正则化方法 1.二分类问题 什么是二分类问题? 垃圾邮件 / 非垃圾邮件? 诈骗网站 / 非诈骗网站? 恶性肿瘤 / 非恶性肿瘤? 用表达式来表示:$y\in\left \{ 0,1 \right \}$, \begin{Bmatrix} 0& : & nagetive &…

前几章在不知道原理的情况下,已经学会使用了多个机器学习模型机器算法.Scikit-Learn很方便,以至于隐藏了太多的实现细节. 知其然知其所以然是必要的,这有利于快速选择合适的模型.正确的训练算法.合适的超参数.了解底层有助于更有效率地调试问题以及平台错误. 本章从现行回归模型开始,讨论两种不同的训练方式: 直接使用解析解,例如一元二次方差的求根公式. 有些数学问题(比如大多数偏微分方程)是没有数值解的,这时候就要用数值解来近似求解.有时间为了效率,解释存在解析解,也是求近似的数值解. 4.1…

.caret, .dropup > .btn > .caret { border-top-color: #000 !important; } .label { border: 1px solid #000; } .table { border-collapse: collapse !important; } .table td, .table th { background-color: #fff !important; } .table-bordered th, .table-bordere…

  Basic theory (i) Supervised learning (parametric/non-parametric algorithms, support vector machines, kernels, neural networks, )  regression, classification. (ii) Unsupervised learning (clustering, dimensionality reduction, recommender systems, dee…