另一道数据范围不一样的题:https://www.cnblogs.com/Yinku/p/10987912.html $F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} lcm(i,n) $ $\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{in}{gcd(i,n)} $ 枚举g,提n. $n \sum\limits_{g|n}\frac{1}{g} \sum\limits_{i=1}^{n} i [gcd(i,n)==g] $ 前面带有id的时候,除以g要提g到前面. $n \su…

原题链接 题目描述 描述: 众所周知,czmppppp是数学大神犇.一天,他给众蒟蒻们出了一道数论题,蒟蒻们都惊呆了... 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N). 输入输出格式 输入格式: 第一行一个数T,表示有T组数据. 对于每组数据,一行,一个正整数N. 输出格式: T行,每行为对应答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 3 1 2 5 输出样例#1: 复制 1 4 55 说明 对于30%的数据,1≤T≤5,1≤N≤100000 对于100%的数据…

原题链接 享受推式子的乐趣吧 数论真有趣! 庆祝:数论紫题第 \(3\) 道. \[\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n) \] \[= \sum_{i=1}^n \frac{i \times n}{\gcd(i,n)} \] \[= n \times \sum_{i=1}^n \frac{i}{\gcd(i,n)} \] \[= n \times \sum_{d|n} \sum_{i=1}^n \frac{i}{d} [\gcd(i,n) == d] \] \…

经验给掉先: 经验*1 经验*2 经验*3 这里给个跑得比较慢的 \(n \sqrt n\) 预处理然后 \(O(1)\) 回答询问的做法 式子 首先我们推柿子: \[\begin{aligned}ANS&= \sum_{i=1}^n lcm(i,n)\\ &=\sum_{i=1}^n {i* n\over (i,n)} \\&= n\sum_{i=1}^n {i\over (i,n)} \\&=n\sum_{d|n} \sum_{i=1}^{n/d} i [(i,n/d)…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 众所周知,czmppppp是数学大神犇.一天,他给众蒟蒻们出了一道数论题,蒟蒻们都惊呆了... 给定正整数N,求LCM(1,N)+LCM(2,N)+...+LCM(N,N). \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 第一行一个数T,表示有T组数据. 对于每组数据,一行,一个正整数N. \(\color{#0066ff}{输出格式}\) T行,每行为对应答案. \(\color{#0066ff}{输入样例}\) 3 1 2 5 \…

嘟嘟嘟 这题跟上一道题有点像,但是我还是没推出来--菜啊 \[\begin{align*} ans &= \sum_{i = 1} ^ {n} \frac{i * n}{gcd(i, n)} \\ &= n * \sum_{d | n} \sum_{i = 1} ^ {n} [gcd(i, n) = d] * \frac{i}{d} \\ &= n * \sum_{d | n} \sum_{i = 1} ^ {\frac{n}{d}} [gcd(i, n) = 1] * i \\…

洛咕3312 [SDOI2014]数表 终于独立写出一道题了...真tm开心(还是先写完题解在写的) 先无视a的限制,设\(f[i]\)表示i的约数之和 不妨设\(n<m\) \(Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf[\gcd(i,j)]\) \(Ans=\sum_{x=1}^nf[x]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=x]\) 莫比乌斯反演,\(Ans=\sum_{x=1}^nf[x]\sum_{x|y}\mu(\frac{y}{…

洛咕 P3700 [CQOI2017]小Q的表格 神仙题orz 首先推一下给的两个式子中的第二个 \(b\cdot F(a,a+b)=(a+b)\cdot F(a,b)\) 先简单的想,\(F(a,a+b)\)和\(F(a,b)\)会相互影响 可以换一种角度想,\(F(a,b-a)\)和\(F(a,b)\)会相互影响\((b>a)\) 那么可以从\(F(x,y)\)一路推下去 \(F(x,y)=F(x,y-x)=F(x,y-2x)=\cdots=F(x,y\mod x)\) (注意这里的\(\t…

洛咕 P2336 [SCOI2012]喵星球上的点名 先求出SA和height,一个点名串对应的就是一段区间,还有很多个点,就转化成了 有很多个区间,很多个点集,对每个区间计算和多少个点集有交,对每个点集计算和多少个区间有交. 第一个,HH的项链的树状数组做法 第二个,因为是点集所以要去重,假设点集有\(a_1,a_2,\cdots,a_k\),可以对每个区间只再覆盖的第一个点做记录 就是记录\(\sum_{i=1}^k\sum_{\texttt{interval }[l,r]}\left[l\…

洛咕 P4131 [WC2005]友好的生物 首先可以发现\(C\)是没有用的,可以乘进所有的权值里面做 考虑没有最后一维的限制,那么两个生物的友好值就是 \(\sum_{i=1}^k|a_i-b_i|\) 这个绝对值就很麻烦了. 但是可以换个思路想,既然是绝对值那么一定\(\geq 0\),所以两个生物的友好值是 \(\max\left(\sum_{i=1}^k(a_i-b_i)(-1)^{c_i}\right)\) 其中\(c\)取遍所有的01数组.正确性是显然的,因为其他的都没有答案大.…